(Uepi) Uma estrada possui um trecho retilíneo de 2 000 m, que segue paralelo aos trilhos de uma ferrovia também retilínea naquele ponto. No início do trecho um motorista espera que na outra extremidade da ferrovia, vindo ao seu encontro, apareça um trem de 480 m de comprimento e com velocidade constante e igual, em módulo, a 79,2 km/h para então acelerar o seu veículo com aceleração constante de 2 m/s². O final do cruzamento dos dois ocorrerá em um tempo de aproximadamente:






Vamos ilustrar a situação.


Temos um carro em uma exetremidade da pista um trem na outra








o carro então começa a acelerar a 2 m/s








vamos considerar que o carro está na origem do sistema, ou seja na posição 0 e o trem na posição 2.000 m



nós precisamos descobrir quanto tempo leva o cruzamento dos dois.






Vamos quebrar a solução em 2 partes, primeiro vamos calcular quanto tempo leva para eles se encontrarem






A posição de um corpo pode ser calulada pela fórmula \(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ s = s_0\; +v_0t\; +{\large{ {1} \over {2} } }at^2}\)




A equação da posição do carro é: a posição inicial é 0 (s₀ = 0), velocidade inicial nula (v₀ = 0) e aceleração 2 m/s², sendo assim s_carro = t²



A equação da posição do trem é: a posição inicial é 2.000 (s₀ = 2000), a velocidade inicial -79,2 km/h ou -22 m/s¹ (v₀ = 22) e a aceleração é nula, portanto s_trem = 2000 -22t




Quando eles se encontram suas posições são iguais, sendo assim





Nós precisamos encontrar os valores de t que satisfazem a equação e para isso nós utilizamos Bhaskara \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ t = \Large{ {-b\; \pm\sqrt \Delta} \over {2a} } } \)


Δ é conhecido como fator discriminante da função de segundo grau e seu valor é Δ = b² -4ac




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Agora é só substituir em Bhaskara




Fazendo a raiz negativa \( t_1 = \Large{ {-22\; -\sqrt{8484}} \over {2} } \) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ t_1 \approx -57,05\;s } \)


O tempo não anda para trás, então eles não podem se encontrar no instante -57 s, vamos calcular o segundo valor de t
\( t_2 = \Large{ {-22\; +\sqrt{8484}} \over {2} } \) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ t_2 \approx 35\;s } \)





Agora sim, eles se encontram no segundo 35



mas qual a velocidade do carro?






A aceleração de um objeto é dada por \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ a = {\large{ {Δv} \over {Δt} } } } \)





A aceleração é 2 m/s², como nós queremos a velocidade quando o carro se encontra com o trem e isto ocorre no segundo 35, então t = 35





Para seguirmos necessitamos entender um conceito importante, velocidade relativa.


Velocidade relativa é a velocidade que um corpo apresenta em relação a outro.



Exemplo, considere dois carros A e B com velocidades v_a e v_b








se estiverem em sentidos opostos¹




a velocidade relativa de A em relação a B, ou de B em relação a A, é a soma dos módulos de v_a com v_b v_r = |v_a| +|v_b|




Caso estejam no mesmo sentido¹


a velocidade relativa de A em relação a B é a subtração dos módulos de v_a com v_b v_r = |v_a| -|v_b|


Bem como a velocidade relativa de B em relação a A é v_r = |v_b| -|v_a|






No nosso caso nós é só substituir o carro laranja por um trem.


A velocidade relativa do carro em relação ao trem é v = 70 +22 = 92 m/s


É como se o trem estivesse parado e a carro a 92 m/s.




A velocidade média de um corpo pode ser calculado por \(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ v_m = \Large{ {s} \over {t} } }\)





Para passar o trem ele tem que andar 480 m com uma velocidade de 92 m/s, o tempo necessário para cruzá-lo é



Finalmente são 35 s para se encontrarem + 5 para o cruzamento, totalizando 40 s.




Gabarito letra e.


1: a velocidade do trem é negativa porque ele está se deslocando para a esquerda, via de regra velocidades que estão para a esquerda ou para baixo são consideradas negativas e as que estão para direita ou para cima são positivas.







Isto é apenas uma convenção, também poderia ser o contrário ou seja para esquerda ou para baixo positivas e direita ou cima negativas



mas na grande maioria do caso nós seguimos o primeiro modelo.




2: considerando que estão na mesma direção



E para converter de km/h para m/s, basta dividir por 3,6 e de m/s para km/h multiplica-se por 3,6

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