(Ueg 2009)
O esquema representa uma rede de distribuição de energia elétrica que consta de:
- geradores G1 e G2 de fem E1 = E2 = Ɛ e resistências internas r1 = r2 = R;
- motor M de fcem \( E_3 = \Large{ {3Ɛ} \over {10} } \) e resistência interna r3 = 2R;
- resistores de resistências internas R1 = R2 = R; R3 = 6R e R4 = 2R
Obtenha a equação matricial que permite calcular as correntes i1 e i2. Sendo R = 0,5 Ω e Ɛ = 20 V, calcule i1, i2 e i3.
Veja que o circuito está dividido em 2 partes (malhas), α e Ꞵ
De acordo com a 2ª lei de kirchhoff, ou lei das malhas, ao percorrermos uma malha apartir de um ponto qualquer e voltarmos a este ponto, a soma das ddps deve ser 0.
Para cada uma nós iremos escrever uma equação, comecemos com α.
É muito simples.
Vamos escolher qualquer ponto dela e percorrê-la no sentido horário[1]
Agora nós faremos o seguinte, para cada gerador/receptor que nós encontrarmos iremos escrever ± Ɛ.
Ɛ: força eletromotriz ou contraeletromotriz do gerador/receptor
Se nós chegarmos ao gerador/receptor pelo seu polo positivo ficará +Ɛ.
Se nós chegarmos ao gerador/receptor pelo seu polo positivo ficará -Ɛ.
E para cada resistência escreveremos ± Ri
i: corrente que atravessa R
Se nós passarmos pela resistência no sentido contrário da corrente escrevemos -Ri.
Se nós passarmos no mesmo sentido da corrente escrevemos +Ri.
Por exemplo, imagine que nós temos a resistência R e a corrente i
estamos percorrendo a malha e passamos por R no sentido contrário da corrente (de cima para baixo)
escreveremos então -Ri.
Mas se passarmos por R no mesmo sentido da corrente
escreveremos então +Ri.
Vamos lá.
Saindo de A e percorrendo α no sentido horário passamos por uma resistência no mesmo sentido da corrente (esta questão foi muito camarada e já nos deu os sentidos das correntes, normalmente nós temos que descobrir)
o 1º termo da equação é Ri1.
Depois passamos uma resistência no sentido contrário da corrente (a corrente no trecho BE é i2)
o 2º termo da equação é -Ri2.
Encontramos o polo positivo de uma fonte/receptor, o 3º termo da equação é Ɛ.
Passamos por outra resistência no sentido contrário da corrente
o 4º termo da equação é -Ri2.
Passamos uma resistência no mesmo sentido da corrente (a corrente no trecho EF é i1)
o 5º termo da equação é 2Ri1.
Encontramos o polo negativo de uma fonte/receptor
o 6º termo da equação é -Ɛ.
E por último, passamos por + uma resistência no mesmo sentido da corrente
o 7º termo da equação é Ri1.
E retornamos ao ponto de partida, fim do percurso.
A soma das ddps deve ser nula
Ri1 -Ri2 +Ɛ -Ri2 +2Ri1 -Ɛ +Ri1 = 0
4Ri1 -2Ri2 = 0
R(4i1 -2i2) = 0
4i1 -2i2 = 0
2i1 -i2 = 0 (eq1)
Façamos o mesmo com β.
Saindo de B no sentido horário passamos por uma resistência no mesmo sentido da corrente
o 1º termo da equação é 6Ri3.
Depois encontramos o polo positivo de um receptor, o 2º termo da equação é \( \Large{ {3Ɛ} \over {10} } \).
e passamos pela sua resistência interna no mesmo sentido da corrente
o 3º termo da equação é 2Ri3.
Passamos por outra resistência no mesmo sentido da corrente
o 4º termo da equação é Ri2.
Encontramos o polo negativo de uma fonte, o 5º termo da equação é -Ɛ.
Então passamos pela última resistência no mesmo sentido da corrente
Aplicando a 1ª lei de kirchhoff, que se baseia no princípio da conservação das cargas elétricas, a soma das correntes que saem de um ponto é igual as correntes que chegam, ou seja i3 = i1 +i2
Quando ela chega em E se divide em i1 e i2, por isso a corrente no trecho EF em i1.
Vamos montar um sistema com eq1 e eq2
\(
\begin{cases}
2i_1\; -i_2 = 0 \;\;(eq1)\\
8Ri_1\; +10Ri_2 = {\Large{ {7Ɛ} \over {10} } } \;\;(eq2)
\end{cases}
\)
Falta a matriz dos coeficientes.
1º nós alinhamos a mesma variável na mesma coluna, por exemplo, i1 na 1ª coluna e i2 na 2ª.
Os termos independentes (que não têm variável, ficam à direita da igualdade).
Agora nós copiamos os coeficientes da primeira coluna para a 1ª coluna da matriz
os coeficientes da segunda coluna do sistema vão para a 2ª coluna da matriz
Agora montamos uma matriz coluna onde o 1º elemento é a variável da primeira coluna do sistema, o 2º elemento é a variável da segunda coluna do sistema e assim por diante
Multiplicamos as duas e igualamos o produto a matriz dos termos independentes
Sendo o 1º elemento o termo independente da 1ª equação, o 2º elemento o termo independente da 2ª equação e por aí vai
Agora só falta a calcular i1, i2 e i3.
Sendo R = 0,5 Ω e Ɛ = 20 V, vamos substituí-los em eq2
[1]: você pode percorrer uma malha no sentido anti-horário também, sem problema nenhum, eu apenas escolhi o sentido horário
Por que nós escrevemos 8Ri1, 10Ri2 …? Da onde eles vêm ?
De acordo com a 1ª lei de Ohm \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ R = \Large{ {U} \over {i} } }\)
R: resistência, unidade Ω (ohms)
U: diferença de potencial a qual a resistência está submetida, também conhecida como tensão, unidade V (Volt)
i: corrente elétrica, unidade A (ampère)
Portanto a ddp nos terminais de uma resistência é U = Ri
