(Puccamp)
Observando a parábola do dardo arremessado por um atleta, um matemático resolveu obter uma expressão que lhe permitisse calcular a altura y, em metros, do dardo em relação ao solo, decorridos t segundos do instante de seu lançamento (t = 0). Se o dardo chegou à altura máxima de 20 m e atingiu o solo 4 segundos após o seu lançamento, então, desprezada a altura do atleta, considerando g = 10 m/s2, a expressão que o matemático encontrou foi
Vamos ilustrar a situação.
Uma dardo (representado aqui por uma bola a bem da simplicidade) é lançado com velocidade v0 formando um ângulo de 𝛳 com a horizontal
vamos definir o nosso sistema de coordenadas1
nós podemos decompor o movimento nas suas componentes vertical e horizontal
Na horizontal o movimento é uniforme, isto é a velocidade no eixo x não se altera durante o percurso, a velocidade final é igual à inicial
já na vertical como nós temos a força da gravidade puxando o corpo para baixo com uma aceleração de -10 m/s2 constantemente o movimento é uniformemente variado (negativa porque o y cresce para cima e a gravidade está sempre orientada para baixo)
Esqueça a horizontal, nós iremos trabalhar apenas com o movimento vertical.
A posição de um corpo pode ser dada por \(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ s = s_0\; +v_0t\; +{\large{ {1} \over {2} } }at^2}\)
s: posição final, em m
s0: posição inicial, em m
v0: velocidade inicial, em m/s
a: aceleração: em m/s2
t: tempo, em segundos
Como nós estamos observando a altura de um objeto nós podemos fazer alguns ajustes \(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ y = y_0\; +v_{0y}t\; +{\large{ {1} \over {2} } }gt^2}\)
y: altura final, em m
y0: altura inicial, em m
v0y: velocidade inicial na vertical, em m/s
g: aceleração gravitacional
t: tempo, em segundos
Desprezando a altura do atleta a altura inicial é 0 (y0 = 0), a aceleração da gravidade é -10 m/s2 (negativa porque o y cresce para cima e a gravidade está sempre orientada para baixo), só falta a velocidade inicial vertical, vamos encontrá-la.
A altura máxima em um lançamento oblíquo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ h_{max} =\; {\large{ {(v_0.sen\;𝛳)^2} \over {2g} } } } \)
hmax: altura máxima
v0: velocidade inicial, em m/s
𝛳: ângulo de lançamento
g: aceleração gravitacional, em m/s2
v0.sen 𝛳 é a velocidade inicial vertical v0y = v0.sen 𝛳, a gravidade2 é 10 m/s2 e a altura máxima é 20 m, sendo assim
1: não é necessário explicitar o sistema de coordenadas usado, estamos fazendo isso aqui apenas para deixar mais didático e comumente adota-se o padrão, y crescendo para cima e x para direita
nas questões em que as coordenadas não tiverem sido claramente declaradas adote o padrão.
2: a gravidade é positiva porque nós já consideramos ela negativa, confuso certo?!
A fórmula \( h_{max} = {\large{ {v_{0y}^2} \over {2g} } } \) vem dessa outra v2 = v02 +2aΔs, quando estamos tratando de lançamento vertical a velocidade na altura máxima é nula e a aceleração é a própria gravidade, que é negativa e o Δs é a altura (h) então ela fica assim
\( 0^2 =\; v_{0y}^2\; +2.(-g)h \)
\( 0 =\;v_{0y}^2\; -2gh \)
\( 2gh =\;v_{0y}^2 \)
\( h = {\large{ {v_{0y}^2} \over {2g} } } \)
Percebeu como aqui
\( 0^2 =\; v_{0y}^2\; +2.(-g)h \)
a gravidade já foi considerada negativa?!
Por isso que na equação final \( h = {\large{ {v_{0y}^2} \over {2g} } } \) ela fica positiva.
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