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(Acafe 2016) A praça de uma cidade tem a forma de um triângulo retângulo ABC e está sendo reformada. A região triangular foi dividida em duas partes, conforme a figura abaixo. A região formada pelo triângulo CDE será destinada aos jardins e a região formada pelo quadrilátero ABED será usada para passeios e eventos.


Sabendo-se que as dimensões são AB = 2 km, AC = 2√3 km e AD = 4DE, a razão entre a área destinada aos passeios e eventos e a área dos jardins é igual a:






Olhe para o triângulo CAB






Vamos chamar o ângulo ACB de w






CA mede 2√3 e AB mede 2






CB é a hipotenusa




De acordo com o teorema de Pitágoras o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, então nós temos

h2 = (2√3)2 +22


h = 4 km





Logo o seno de w é

\( sen\;w = \large{ {cateto\; oposto} \over {hipotenusa} } \)



\( sen\;w = \Large{ {2} \over {4} } \)



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ sen\;w = \Large{ {1} \over {2} } }\)






Agora vamos traçar a reta DE que mede x






Segundo a questão AD = 4DE ∴ AD = 4x






Se CA mede 2√3 e AD mede 4x então DC mede 2√3 -4x




Agora olhe para o triângulo CDE.



Novamente o seno de w é

\( sen\;w = \large{ {cateto\; oposto} \over {hipotenusa} } \)



\( sen\;w = \Large{ {x} \over {2\sqrt 3 -4x} } \), nós sabemos que \( sen\;w = \Large{ {1} \over {2} } \), assim sendo



\( {\Large{ {1} \over {2} } } = \Large{ {x} \over {2\sqrt 3 -4x} } \)



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ x = \Large{ {\sqrt 3} \over {3} } }\)







Então CD mede

\( CD = 2\sqrt 3 -4{\Large{ {\sqrt 3} \over {3} } }\)



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ CD = \Large{ {2\sqrt 3} \over {3} } }\)



⇩







CD é a hipotenusa do triângulo CDE, e DE e EC são os catetos, então aplicando Pitágoras nós temos

\( { \large{ ({ {2\sqrt 3} \over {3} })^ 2 } } = { \large{ ({ {\sqrt 3} \over {3} })^2 } } +\small{CE^2}\)



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \small{CE = 1} }\)



⇩




A área de um triângulo retângulo é o produto dos catetos dividido por 2, portanto a área do triângulo CDE é

\( {\small{A_{CDE} } }= \Large{ { {\huge{ {\sqrt 3} \over {3} } } .1 } \over {2} } \)



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {\small{A_{CDE} } }= \Large{ {\sqrt 3} \over {6} } } \)







A área do triângulo CAB é

\( {\small{A_{CAB} } } = \Large{ {2\sqrt 3 .2} \over {2} } \)



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {\small{A_{CAB} } }= 2\sqrt 3 }\)







A área do quadrilátero ADEB é a área de CAB -a área do triângulo CDE

\( A_q = 2\sqrt 3 -{\Large{ {\sqrt 3} \over {6} } } \)



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ A_q = \Large{ {11\sqrt 3} \over {6} } } \)







E finalmente a razão \( \Large{ {A_q} \over {A_{CDE} } } \) é


\( {\Large{ {A_q} \over {A_{CDE} } } } = {\huge{ { {11\sqrt 3} \over {6} } \over { {\sqrt 3} \over {6} } } }\)



\( {\Large{ {A_q} \over {A_{CDE} } } } = {\Large{ {11\sqrt 3} \over {6} } }. { \Large{ {6} \over {\sqrt 3} } }\)



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {\Large{ {A_q} \over {A_{CDE} } } } = 11 } \)







Gabarito letra d.


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