(Cesmac 2016)
Ilustrado abaixo, temos três circunferências tangentes entre si, duas a duas. O triângulo com vértices nos centros das circunferências tem lados que medem 6 cm, 7 cm e 8 cm.
Qual é a soma dos perímetros das circunferências ?
Vamos começar nomeando as circunferências
O ponto de tangência entre c1 e c2 é p1, o ponto de tangência entre c2 e c3 é p2 e o ponto de tangência entre c3 e c1 é p3
Os vértices do triângulo são A, B e C
Repare que Ap1 e Ap3 são raios de c1, digamos que eles medem x
Bp1 e Bp2 são raios de c2, que medem um valor y qualquer
e Cp2 e Cp3 medem z
Segundo a questão os lados do triângulo medem 6,7 e 8, então vamos considerar x +y = 6, y +z = 7 e z +x = 8.
Se nós temos 2 ou mais equações podemos montar um sistema, é o que faremos
\(
\begin{cases}
x +y = 6\; (eq1) \\
\\
y +z = 7\; (eq2) \\
\\
z +x = 8\; (eq3)
\end{cases}
\)
Vamos subtrair eq2 -eq1
y +z = 7
-(x +y = 6)
---------------
z -x = 1 (eq4)
Agora vamos somar eq3 com eq4
z +x = 8
+ z -x = 1
--------------
2z = 9
z = 4,5 (raio de c3)
Vamos substituir z em eq2
y +4,5 = 7
y = 2,5 (raio de c2)
Vamos substituir y em eq1
x +2,5 = 6
x = 3,5 (raio de c1)
De posse dos raios das circunferências vamos calcular seus perímetros.
O perímetro de uma circunferência é o seu comprimento e o comprimento de uma circunferência é c = 2πr
