(Inaz 2018)
Um professor de matemática tirou o final de semana para organizar sua estante de livros e em uma das prateleiras ele usou a seguinte formação: foram dispostos oito livros, um ao lado do outro, de acordo com suas respectivas espessuras e alturas, de modo que um sempre tivesse o dobro da espessura do outro e o da frente seja sempre maior que o de trás, formando com a base da prateleira onde estavam, um triangulo retângulo com um ângulo de 45º, como expresso na figura abaixo. Qual a altura, em metros, do maior livro, sabendo que o menor livro mede 0, 2 cm de espessura?
1º vamos entender o que a questão está falando.
1º do início da estante até o 1º livro há uma espaço de 10 cm
o 1º livro tem 0,2 cm
o da frente sempre tem o dobro da espessura do de trás, ou seja, o 2º livro tem 0,4 cm
o 3º tem o dobro da espessura do 2º 0,8 cm
assim até o 8º livro.
As espessuras dos livros formam uma P. G de razão 2 e o 1º termo é 0,2 cm.
A soma dos termos de uma P. G pode ser calculada com a fórmula \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ S = \Large{ {a_1(q^n -1)} \over {q -1} } }\)
a1: 1º termo da P. G
n: quantidade termos da P. G
q: razão da P. G
Logo, a soma das espessuras dos livros é
\( S = \Large{ {0,2(2^8 -1)} \over {2 -1} }\)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ S = 51\;cm} \)
Com os 10 cm que há do início da estante até o 1º livro, do início da estante até o fim do 8º livro são 61 cm
BC é a altura do livro que nós queremos descobrir.
A tangente de um ângulo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ tg = \large{ {cateto\; oposto} \over {cateto\; adjacente} } } \)
Assim sendo, a tangente de 45° é
\( tg\;45 = \Large{ {BC} \over {61} } \), a tangente de 45° nós temos que saber de cabeça, vale 1
