(Insper 2016)
Quinze bolas esféricas idênticas de bilhar estão perfeitamente encostadas entre si, e presas por uma fita totalmente esticada. A figura mostra as bolas e a fita, em vista superior.
A medida do raio de uma dessas bolas de bilhar, em centímetros, é igual a
1º note que são 5 esferas do lado esquerdo
5 no lado direito
e + 5 embaixo
Do centro da esfera 1 até o centro da esfera 6 são 8r (r é o raio de uma esfera)
do centro de 1 até o centro de 9 também são 8r
e do centro de 6 até o centro de 9 também são 8r
ou seja o triângulo é equilátero.
Do centro da esfera 1 até o topo da fita nós temos r
e dos centros de 6 e de 9 até a base da fita nós também temos r
Se a altura da fita é 22 cm
então a altura do triângulo laranja é 22 -2r.
Vamos isolá-lo para vermos melhor
Como ele equilátero todos os seus ângulos medem 60°
vamos traçar a altura saindo de A
O seno de um ângulo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ seno = \large{ {cateto\; oposto} \over {hipotenusa} } } \)
Logo, o seno de 60 é
\( sen\;60 = \Large{ {22 -2r} \over {8r} } \), sen 60 = √3/2, o seno de 60 nós temos que saber de cabeça
