(Ssa3 2019) Seis canos de mesmo diâmetro estão amarrados por uma fita, conforme mostra a figura.


Se cada cano tem 10 cm de diâmetro, quanto mede o comprimento total da fita?
(Considere π = 3)






Vamos começar numeando as circunferências






O raio delas mede 5 (lembre-se, o raio da circunferência forma um ângulo reto com a reta tangente, neste caso uma fita, no ponto de tangência)






Agora vamos ligar o centro de 1 com o centro de 3






e traçar o raio de 3 até a fita






O1O3 mede





Como O1O3 é paralela a fita P1P3 mede 20 cm






Vamos traçar outro raio de 3






e ligar o centro de 3 com o centro de 5






e traçar o raio de 5 até a fita






O3O5 também mede 20 cm, logo P4P5 mede 20 cm






Nós faremos exatamente o mesmo processo ligando o centro da circunferência 5 até o centro de 1






Portanto o comprimento da fita até agora é 20 +20 +20 = 60, contudo ainda faltam os pedaços compreendidos entre P1 e P7, P3 e P4 e P5 e P6






dê uma olhada no triângulo O1O3O5






ele é equilátero, portanto todos os seus ângulos medem 60





repare que a soma dos ângulos P1O1P7 +P1O1O3 +P7O1O5 +60 resulta em uma circunferência completa, que tem 360°, assim sendo





⇩




O comprimento de um arco de circunferência é: \( s = \Large{ {\pi r \alpha} \over {180} } \)





Então o comprimento do arco P1P7 é



O comprimento dos outros 2 arcos é igual ao comprimento de P1P7, logo o arco P3P4 mede s₂ = 10 cm e o arco P5P6, cujo comprimento é s₃, também mede 10 cm.




Finalmente o comprimento da fita é





Gabarito letra e.


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