(Udesc 2018)
A figura abaixo apresenta uma semicircunferência de diâmetro AB, com raio igual a √3 cm e com o ponto C sobre a semicircunferência.
Sabendo-se que o segmento AC mede 3 cm, o comprimento do arco AC é
Aí está a semicircunferência, O é o centro dela
Bem, se O é o centro AO é um dos raios, e portanto mede √3
vamos traçar o raio de O para C
e segundo a questão o segmento AC mede 3 cm
perceba que o triângulo AOC tem 2 lados iguais, logo ele é isósceles.
Vamos traçar a altura saindo do vértice O
A altura de um triângulo isósceles relativa ao vértice apresenta 3 propriedades importantes que nós devemos conhecer
1º é perpendicular a base
2º divide o ângulo do vértice em 2 ângulos iguais
3º divide a base em 2 segmentos de mesmo tamanho
Ou seja M é o ponto médio de AC, por conseguinte MC mede 1,5 cm
Agora olhe para o triângulo OMC.
O seno de um ângulo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ sen = \large{ {cateto\; oposto} \over {hipotenusa} } } \)
Logo o seno de MÔC é
\( sen\;MOC = \Large{ {1,5} \over {\sqrt 3} } \)
\( sen\;MOC = {\Large{ {1,5} \over {\sqrt 3} } }.{\Large{ {\sqrt 3} \over {\sqrt 3} } }\)
\( sen\;MOC = \Large{ {1,5\sqrt 3} \over {3} } \)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ sen\;MOC = \Large{ {\sqrt 3} \over {2} } }\)
Humnnn … ? 🤔 O seno de MÔC mede \( \Large{ {\sqrt 3} \over {2} } \), o ângulo cujo seno vale \( \Large{ {\sqrt 3} \over {2} } \) é 60°, portanto concluímos que
MÔC = 60°
E como nós já sabemos OM divide o ângulo AÔC ao meio, ou seja AÔC é o dobro de MÔC,
AÔC = 120°
Finalmente o comprimento de um arco de circunferência é: \( s = \Large{ {\pi r \alpha} \over {180} } \)
r: raio da circunferência
α: ângulo central, em graus
Assim sendo o comprimento de AC é
\( s = \Large{ {\pi \sqrt 3 .120} \over {180} } \)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ s = \Large{ {2\pi \sqrt 3} \over {3} } }\)
Gabarito letra d.
Questões
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