(Ufg) Uma fonte luminosa a 25 cm do centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra circular de 28 cm de diâmetro, conforme figura a seguir. Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do centro da esfera até a parede, em cm, é:







Comecemos nomeando alguns pontos importantes






Vamos chamar o ângulo BAO de x






Agora olhemos para o triângulo ABO






AO mede 25 e BO 7






De acordo com o teorema de Pitágoras o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, então nós temos



⇩




A tangente de um ângulo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ tg = \large{ {cateto\; oposto} \over {cateto\; adjacente} } } \)




Portanto a tangente de x é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ tg\;x = \Large{ {7} \over {24} } } \)




Agora olhemos para o triângulo ACD






AD mede 25 +d






e DC é a metade de CE, ou seja 14






Novamente





Gabarito letra a.




Mas como eu sabia que CD é a metade de CE ?


Creio que seja bem intuitivo, mas vamos provar mesmo assim.


Vamos traçar outro raio da circunferência que intercepta AE no ponto de tangência com a circunferência






Pelo teorema das tangentes, se de um ponto P traçarmos duas retas que tangenciam a circunferência nos pontos A e B




temos que o comprimento PA é igual ao comprimento PB.

Portanto AB = AF




Agora olhemos para os triângulos AOB e AOF




Eles têm os 3 lados congruentes, logo AOB ≡ AOF




Como eles são congruentes, todos os seus ângulos também são, ou seja OÂF mede x






Agora olhe para o ângulo ADE






Ele é o suplemento de 90. Ângulos suplementares são ângulos cuja soma dá 180, ou seja ADE +90 = 180 ∴ ADE = 90

Finalmente olhe para os triângulo ADC e ADE



Eles têm 1 lado em comum, 25 +d, e os ângulos adjacentes à 25 +d são congruentes, logo podemos concluir que ADC e ADE são congruentes e triângulos congruentes têm todos os lados do mesmo tamanho, ou seja CD = DE = 14


Questões