(Cesmac 2017) O efeito de determinada substância na variação da população de certos micro-organismos está representado no gráfico a seguir, em que N(t) denota o número de dezenas de milhares de organismos sobreviventes, passados t dias do primeiro contato com a substância, ocorrido em t = 0. Os pontos (t, N(t)) de N pertencem ao gráfico de uma parábola com eixo vertical, vértice no ponto com coordenadas (3, 2), e passando pelo ponto (1, 4), como esboçado abaixo.




Quantos eram os organismos sobreviventes no 5º dia?






Se a função descreve uma parábola, então ela é do 2º grau.

A forma geral de uma função do 2º grau é f(x) = ax² +bx +c.



Pelo gráfico nós vemos que N(1) = 4



portanto







Ademais N(3) = 2



então





E por último, segundo a questão, o ponto (3,2) é vértice da parábola, logo 3 é o x do vértice.


O x do vértice pode ser calculado da seguinte maneira \( x_v = \Large{ {-b} \over {2a} } \)




Assim





Com 2 ou + equações nós podemos montar um sistema, é o que faremos com eq1 e eq2

\( \begin{cases} a + b +c = 4 \;(eq1) \\ \\ 9a +3b +c = 2 \; (eq2) \end{cases} \)





Vamos substituir b em eq1






e em eq2






O sistema fica assim

\( \begin{cases} -5a +c = 4 \;(eq3) \\ \\ -9a +c = 2 \; (eq4) \end{cases} \)





Vamos subtrair eq3 -eq4






Vamos substituir "a" em eq3






E por fim vamos descobrir o b





A função N(t) é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ N(t) = {\Large{ {1} \over {2} } }x^2\;-3x\;+{\Large{ {13} \over {2} } } }\)



A quantidade de organismo no 5º dia é





São 4 dezenas de milhares de organismos no 5º, 4 dezenas de milhares são 40.000.




Gabarito letra e.


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