(Enem 2017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.




Qual a medida da altura em metro, indicada na Figura 2?






Comecemos nomeando alguns pontos






A abóbada, como a própria questão diz tem a forma de uma parábola, então vamos usar um pouco de abstração e encará-la como o gráfico de uma função do 2º grau.

Vamos traçar o eixo y passando por A



e o chão, claro, é o eixo x. Temos aí o gráfico de uma função do 2º grau no plano cartesiano, com origem em A.




Note que se CD mede 4 metros, BC também tem 4 metros






e como CE tem 5 metros, AC também tem 5 metros






Agora veja, se AC mede 5 metros e BC mede 4, então AB tem 1 metro






por raciocínio semelhante DE também tem 1 metro






Então nós podemos dizer que B encontra-se no x = 1






como BD tem 8 metros D está no x = 9






e E está no x = 10






Como o retângulo tem 3 metros, as coordenadas de F são (1,3)






as coordenadas de G são (9,3)






e as coordenadas de E são (10,0)






Uma função do 2º grau tem a forma f(x) = ax² +bx +c.

Perceba que F, G e E pertencem ao gráfico, logo eles satisfazem a função, portanto

\( \begin{cases} 3 = a.1^2 +b.1 +c\;(eq1) \\ \\ 3 = a.9^2 +b.9 +c \; (eq2) \\ \\ 0 = a.10^2 +b.10 +c \; (eq3) \end{cases} \)



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\( \begin{cases} 3 = a +b +c\;(eq1) \\ \\ 3 = 81a +9b +c \; (eq2) \\ \\ 0 = 100a +10b +c \; (eq3) \end{cases} \)





Igualando eq1 com eq2





Vamos reescrever eq3





Substituindo c nas equações do sistema

\( \begin{cases} 3 = a +b\;(eq1) \\ \\ 3 = 81a +9b \; (eq2) \\ \\ 0 = 100a +10b \; (eq3) \end{cases} \)




Vamos dividir eq3 por 10

\( \begin{cases} 3 = a +b\;(eq1) \\ \\ 3 = 81a +9b \; (eq2) \\ \\ 0 = 10a +b \; (eq3) \end{cases} \)




Subtrair eq3 -eq1






Substituindo a em eq1





Finalmente descobrimos a função do gráfico que representa a abóbada \( f(x) = -{\Large{ {1} \over {3} } }x^2\; +{\Large{ {10} \over {3} } }x\)


O y do vértice de uma função do 2º grau é \( y_v = -{\Large{ {\Delta} \over {4a} } }\)

Δ é conhecido como discriminante, tal que Δ = b² -4ac.



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Substituindo Δ na equação do y do vértice





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Gabarito letra d.


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