(Fps) Uma farmacêutica vende, mensalmente, 20.000 recargas de insulina, ao preço unitário de R$ 60,00. O aparecimento no mercado de uma insulina similar, mais barata, obrigou a farmacêutica a avaliar seu preço de venda. Uma pesquisa de mercado revelou que, a cada diminuição de R$ 0,50 no preço da recarga, o número de recargas vendidas aumentava em 200 recargas; e que, a cada aumento de R$ 0,50 no preço da recarga, o número de recargas vendidas diminuia em 200 recargas. Para qual preço de venda da recarga o valor mensal obtido com a venda será máximo?






Seja ‘a’ a arrecadação mensal.

‘p’ o preço da insulina.

E ‘i’ a quantidade de insulinas vendidas.

A arrecadação é o preço x a quantidade de insulinas vendidas a = pi




Inicialmente p = 60.

Após x descontos de 50 centavos o preço é p = 60 -0,5x




Para cada desconto de 50 centavos, a quantidade de insulinas vendidas aumenta em 200, portanto i = 20.000 +200x




Assim sendo





O valor máximo de uma função do 2º grau, que neste caso é a arrecadação da venda de insulina, é conhecido como y do vértice, e pode ser calculado da seguinte maneira \( y_v = -{\Large{ {\Delta} \over {4a} } }\)


Δ é conhecido como discriminante, sendo que Δ = b² -4ac.




Logo Δ = 2000² -4.(-100).1200000




Substituindo Δ na equação do y do vértice





Bem, esta é apenas uma das possibilidades, ela também pode aumentar o preço para tentar uma maior arrecadação, vamos explorar esta alternativa.

Após aumentar o preço em 0,5x ele será p = 60 +0,5x




Contudo, para cada aumento de R$ 0,50, a quantidade de insulinas vendidas diminui em 200 i = 20.000 -200x



A função da arrecadação é





O discriminante é Δ = (-2000)² -4.(-100).1200000




Substituindo-o na equação do y do vértice





O valor máximo arrecadado nas 2 situações é o mesmo R$ 1.210.000.

Mas qual deve ser o preço das insulinas para obtê-lo ?



O x correspondente do y do vértice é o x do vértice, que pode ser calculado como segue \( x_v = {\Large{ {-b} \over {2a} } }\)

Considerando a 1ª função





Agora cuidado para não confundir, na 1ª situação, a farmacêutica dava descontos de R$ 0,50, então se inicialmente o preço era R$ 60,00, após 10 descontos de 50 centavos, o preço será de R$ 55,00




Gabarito letra e.


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