(Ufpb) Em uma partida de futebol, um jogador, estando na lateral do campo, cruzou a bola para um companheiro de equipe o qual se encontrava na lateral oposta, a uma distância de 64 m. A bola passou 1,20 m acima da cabeça de um jogador, com 1,80 m de altura, da equipe adversária, o qual, nesse instante, estava a 4 m de distância do jogador que realizou o cruzamento, conforme figura a seguir:




Nessa situação, a bola descreve uma trajetória em forma de arco de parábola até tocar o gramado, quando foi dominada pelo companheiro de equipe. Com base nessas informações, é correto afirmar que, durante o cruzamento, a bola atinge, no máximo, uma altura de:






Nós podemos começar encontrando uma função que descreve a trajetória da bola.

A altura da bola depende da distância x entre ela e o jogador que cruzou A(x) = ax² +bx +c.

Como a questão diz que a trajetória é uma parábola, a função da altura é do 2º grau.



Quando a bola está com o jogador, distância de 0 m, sua altura também é 0 m






ou seja A(0) = 0





Quando a bola está a 4 m do jogador, sua altura é 3 m






isto significa que A(4) = 3





E quando a bola está a 64 m do jogador que cruzou, ela encontra-se no chão, altura 0 m






então A(64) = 0





Substituindo b em eq1





Substituindo “a” em eq2





Descobrimos a função da altura \( A(x) = -{\Large{ {1} \over {80} } }x^2\;+{\Large{ {4} \over {5} } }x\)



O valor máximo de uma função do 2º grau, que neste caso é a altura da bola, é conhecido como y do vértice, e pode ser calculado da seguinte maneira \( y_v = -{\Large{ {\Delta} \over {4a} } }\)


Δ é conhecido como discriminante, sendo que Δ = b² -4ac.



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Substituindo Δ na equação do y do vértice





Gabarito letra a.


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