(Unesp 2018) Em relação a um sistema cartesiano de eixos ortogonais com origem em O(0, 0), um avião se desloca, em linha reta, de O até o ponto P, mantendo sempre um ângulo de inclinação de 45º com a horizontal. A partir de P, o avião inicia trajetória parabólica, dada pela função f(x) = –x² +14x –40, com x e f(x) em quilômetros. Ao atingir o ponto mais alto da trajetória parabólica, no ponto V, o avião passa a se deslocar com altitude constante em relação ao solo, representado na figura pelo eixo x.




Em relação ao solo, do ponto P para o ponto V, a altitude do avião aumentou






Digamos que as coordenadas de P são (x, y)






note o triângulo retângulo OPx






Px mede y e Ox mede x






A tangente de um ângulo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ tg = \Large{ {cateto\; oposto} \over {cateto\; adjacente} } } \)



Logo a tangente de 45° é





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Ora, se y = x então





Vamos encontrar os valores de x que satisfazem a equação.


Para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara \( x = \Large{ {-b\; \pm\sqrt \Delta} \over {2a} } \)


Δ é conhecido como fator discriminante e seu valor é: Δ = b² -4ac



Vamos começar calculando-o






Substituindo em Bhaskara






Se \(x = \Large{ {-13\; -3 } \over {-2} }\) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{x = 8 } \)



Se \(x = \Large{ {-13\; +3 } \over {-2} }\) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{x = 5 } \)





Isto significa que, se y = x, x = 8






ou x = 5






Agora nós precisamos descobrir a ordenada de V.

V é o vértice da parábola, neste caso, o ponto mais alto.



O y do vértice de uma função do 2º grau é \( y_v = -{\Large{ {\Delta} \over {4a} } }\)


O Δ de f(x) = –x² +14x –40 é





Substituindo Δ na equação do y do vértice





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De P a V o avião subiu 4 km





Gabarito letra d.


Questões