(Enem 2019) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.




A função \( {\small{h(t) = 4 +4sen} } { \large{ ({ { {\beta t} \over {2} }-{ {\pi} \over {2} } }) } } \) definida para t ≥ 0 descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos. O valor do parâmetro β, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para π. O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é






A questão quer h = 6.

Então vamos substituir h(t) por 6




Humn 🤔 …. quando h = 6, \(sen { \Large{ ({ { {\beta t} \over {2} } - { {\pi} \over {2} } }) } } = { \Large{ {1} \over {2} } }\)

Quais ângulos cujo seno é 1/2 ?

O 1º é 30º.


Vamos dar uma olhada no circulo trigonométrico




aí está o ângulo de 30º




se nós continuarmos percorrendo a circunferência chegaremos em 150º



cujo seno também vale 1/2.




De 150º a 180º os senos são menores que 1/2




e de 180º a 360º os senos são negativos



então nós completamos 1 volta (360º).



Se nós andarmos +30º


atingiremos 390º, cujo seno também vale 1/2.



Logo se \( \Large{ { {\beta t} \over {2} } -{ {\pi} \over {2} } } \) for igual a 390º, ou \( \Large{ {13\pi} \over {6} } \), nós passaremos por 3 ângulos cujos senos valem 1/2, portanto




O motor deve atingir 390º em menos de 4 s, ou seja, t < 4.



O menor inteiro maior que 4 é 5.




Gabarito letra d.


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