(Fgv) Observe o gráfico de uma função trigonométrica cosseno, dada pela expressão f(x) = m +ncos(2x), sendo m, n e p números reais, com ponto de mínimo em x = p, que é a abscissa do ponto Q.




O valor de p^mn é igual a






É importante que você conheça as características mais notáveis da função cosseno, elas são fundamentais para resolver as questões.


O gráfico de g(x) = cos(x) é (apenas uma parte está sendo mostrada)





Note que g(0) = 1





os valores variam entre +1 e -1





os 1º picos à direita e a esquerda do eixo y estão para baixo





o período mede 2π





a amplitude, distância da linha média até um ponto de máximo ou de mínimo, é 1



Linha média é uma linha horizontal que passa bem no meio do gráfico.



Agora vamos começar a resolver a questão.


A amplitude de uma função cosseno é o módulo do fator que multiplica cos(...), neste caso n, e pode ser calculada pela fórmula \(|n| = \Large{ {p_{max} -p_{min} } \over {2} } \)





O máximo é -1






o mínimo é -3





portanto




n é + ou - 1 ?

Se nós olharmos atentamente perceberemos que a 1ª curva que está para baixo deveria estar para cima





e a 2ª curva que está para cima deveria estar para baixo



e assim por diante.



Isso ocorre quando o fator que multiplica cos(...) é negativo, ele inverte os picos do gráfico, ou seja, as curvas que estão para cima ficam para baixo e as curvas que estão para baixo ficam para cima



Portanto n = -1





Agora repare que g(0) = -1 e f(0) = -3





os valores máximos de g(x) e de f(x) são 1 e -1 respectivamente



os valores mínimos de g(x) e de f(x) são -1 e -3, ou seja, conclui-se que f(x) = g(x) -2 ∀ x ∴ f(x) = -cos(x) -2





O que nós estamos fazendo é deslocando g(x) 2 unidades para baixo



Logo m = -2




Mas qual o valor de p ?

O período da função cosseno pode ser calculado pela fórmula \( P = \Large{ {2\pi} \over {|c|} } \)




Assim sendo




O período pode ser visto como a distância entre 2 pontos consecutivos de máximo ou de mínimo



de 0 a p nós temos π, então p = π




m. n = 2

p² = π²




Gabarito letra d.


Questões