(Insper 2017) Em estudo divulgado recentemente na The Optical Society of America, pesquisadores da Tong University revelaram uma forma de transmitir dados de comunicação de forma segura utilizando as águas dos mares como meio de transporte das informações. No artigo, os cientistas apresentam o seguinte gráfico como parte dos resultados.




Uma função trigonométrica que modela razoavelmente bem a curva indicada por A no gráfico do artigo, com x em graus e y em “coincidências em 1s", é






É importante que assim que você olhar para um gráfico já tenha uma boa ideia qual função ele representa, e para isso você deve conhecer as características mais notáveis das funções seno e cosseno.

Função seno: f(x) = sen(x)





Função cosseno: g(x) = cos(x)




A 1ª curva do gráfico está para cima



então a função deve ser seno f(x) = sen(x).



A 1ª curva da função cosseno g(x) = cos(x) está para baixo




e só existe uma maneira para que ela fique para cima, multiplicar o cos(x) por um número negativo, então a função ficaria assim g(x) = -bcos(x)




mas não há nenhuma opção onde cos(x) é multiplicado por um número negativo, então a função não deve ser cosseno.



Prosseguindo.

O módulo do fator que multiplica sen(x), é a amplitude da função que pode ser calculada pela fórmula: \( |b| = \Large{ {p_{max} -p_{min} } \over {2} } \)




O máximo é aproximadamente 20.000






o mínimo é aproximadamente 0



portanto




Mas b é +10.000 ou - 10.000 ?

Se o fator que multiplica sen(x) for negativo, ele inverte os picos do gráfico, ou seja, as curvas que estão para cima ficam para baixo e as curvas que estão para baixo ficam para cima




Como os picos não estão invertidos b = +10.000



Então a nossa função fica assim f(x) = 10.000sen(x)



Agora repare que metade de f(x) = 10.000sen(x) está acima e a outra metade está abaixo do eixo x, enquanto que todo o gráfico da questão está acima de x






Nós precisamos deslocar o gráfico de f(x) para cima




para isso nós só precisamos somar um valor positivo z a 10.000sen(x), então o gráfico será deslocado z unidades para cima.



Vejamos, o valor máximo de 10.000sen(x) é 10.000, o valor máximo do gráfico da questão é um pouco maior que 20.000, então se nós somarmos 11.000, o gráfico será deslocado 11.000 unidades para cima.

O máximo dele será 21.000, o mínimo 1.000 e ele estará acima do eixo x



Então a nossa função fica assim f(x) = 11.000 +10.000sen(x)



Por fim o mais fácil.

O período do gráfico da questão é 100º




O fator que multiplica o ângulo modifica o período e este pode ser calculado da seguinte maneira \( P = \Large{ {360} \over {|c|} } \)




Assim sendo




c é +4 ou -4 ?

Bem como o fator que multiplica sen(x) pode inverter os picos do gráfico, o coeficiente que multiplica o ângulo da função também pode.

Se c for negativo, as curvas que estão para cima ficam para baixo e as curvas que estão para baixo ficam para cima




Como os picos não estão invertidos c = +4



E finalmente a nossa função é f(x) = 11.000 +10.000sen(4x)




Gabarito letra e.




Observação: o 10.000 e o 4, os dois, poderiam ser negativos, assim -10.000 inverteria os picos




e -4 inverteria + uma vez




e o gráfico ficaria como o dado na questão, todavia, não há nenhuma opção onde os dois são negativos.


Finalmente acabamos, se você achou esta questão difícil ou a resolução muito grande, não se preocupe, assim que você pegar o jeito conseguirá resolver questões desse tipo quase que automaticamente.

Para compreender o impacto que diversos fatores provocam na função seno dê uma olhada nas transformações da função seno.


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