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(Pucsp 2016) Suponha que uma revista publicou um artigo no qual era estimado que, no ano de 2015 +x, com x ∈ {0, 1, 2,..., 9, 10}, o valor arrecadado dos impostos incidentes sobre as exportações de certo país, em milhões de dólares, poderia ser obtido pela função \( f(x) = 250 +12cos { \Large{ ({ {\pi } \over {3} } {\normalsize{ x } }) } } \). Caso essa previsão se confirme, então, relativamente ao total arrecadado a cada ano considerado, é correto afirmar que:






a) o valor máximo ocorrerá apenas em 2021.

250 e 12, que multiplica \( cos { \Large{ ({ {x\pi} \over {3} }) } } \), são constantes, então vamos deixá-los de lado.


O valor máximo e o mínimo de qualquer que seja o cosseno, sempre será +1 e -1 respectivamente.

Portanto, \( \bbox[5px, border: 2px solid #d220fa]{ -1 \le cos { \Large{ ({ {x\pi} \over {3} }) } } \le +1 }\).



f(x) atinge seu máximo quando \( cos { \Large{ ({ {x\pi} \over {3} }) } } = 1\).

Qual o 1º ângulo positivo cujo cosseno é 1 ?

Resposta 0, logo

\( { \Large{ { {x\pi} \over {3} } } } = 0\)


x = 0




Ou seja, em 2015 f(x) já atinge seu máximo.

f(0) = 250 +12. cos(0)


f(0) = 250 +12. 1


f(0) = 262








b) atingirá o valor mínimo somente em duas ocasiões.

f(x) atinge seu mínimo quando \( cos { \Large{ ({ {x\pi} \over {3} }) } } = -1\).

Qual o 1º ângulo positivo cujo cosseno é -1 ?

Resposta π, logo

\( { \Large{ { {x\pi} \over {3} } } } = \pi\)


x = 3




Qual o 2º ângulo positivo cujo cosseno é -1 ?

Resposta 3π, logo

\( { \Large{ { {x\pi} \over {3} } } } = 3\pi\)


x = 9




Qual o 3º ângulo positivo cujo cosseno é -1 ?

Resposta 5π, logo

\( { \Large{ { {x\pi} \over {3} } } } = 5\pi\)


x = 15




Vamos parar por aqui.

15 ∉ {0, 1, 2, … 10}

Então nós temos 2 valores de x para os quais a função atinge seu valor mínimo, x = 3 e x = 9





c) poderá superar 300 milhões de dólares.

Falso.

Nós já vimos na letra “a” que o máximo de f(x) é 262.





d) nunca será inferior a 250 milhões de dólares.

Será ? Vamos descobrir f(3)

f(3) = 250 +12. cos(π), cos(π) = -1


f(3) = 250 +12.(-1)


f(3) = 238



f(3) < 250






Gabarito letra b.


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