(Upe) A função y = a + bcos x, com a e b reais, representada graficamente a seguir, intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, -1) e tem valor máximo y = 5. Qual é o valor da soma 5a + 2b?







É importante que você conheça as características mais notáveis da função cosseno, elas são fundamentais para resolver as questões.


O gráfico de g(x) = cos(x) é (apenas uma parte está sendo mostrada)




Note que g(0) = 1




os valores variam entre +1 e -1




os 1º picos à direita e a esquerda do eixo y estão para baixo




o período mede 2π




a amplitude, distância da linha média até um ponto de máximo ou de mínimo, é 1




Linha média é uma linha horizontal que passa bem no meio do gráfico.




Agora vamos começar a resolver a questão.


A amplitude de uma função cosseno é o módulo do fator que multiplica cos(...), neste caso b, e pode ser calculada pela fórmula \(|b| = \Large{ {p_{max} -p_{min} } \over {2} } \)




Segundo a questão o mínimo é -1 e o máximo é 5, portanto




b é + ou - 3 ?

Se nós olharmos atentamente perceberemos que a 1ª curva que está para baixo deveria estar para cima




e a 2ª curva que está para cima deveria estar para baixo


e assim por diante.


Isso ocorre quando o fator que multiplica cos(...) é negativo, ele inverte os picos do gráfico, ou seja, as curvas que estão para cima ficam para baixo e as curvas que estão para baixo ficam para cima




Portanto b = -3




Agora repare que g(0) = -3 e f(0) = -1




os valores máximos de g(x) e do gráfico são 3 e 5 respectivamente




os valores mínimos de g(x) e do gráfico são -3 e -1, ou seja, conclui-se que f(x) = g(x) +2 ∀ x ∴ f(x) = -3cos(x) +2




O que nós estamos fazendo é deslocando g(x) 2 unidades para cima




Logo a = 2.

5. 2 +2.(-3) = 4




Gabarito letra a.


Questões