(Enem 2016) Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda para trabalhar em uma pedra preciosa cujo formato é o de uma pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro cortes de formatos iguais nos cantos da base. Os cantos retirados correspondem a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q, R e S, ao longo dos segmentos tracejados, ilustrados na Figura 2.

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Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a partir da pedra maior, uma joia poliédrica cujos números de faces, arestas e vértices são, respectivamente, iguais a






Aqui está nossa pedra


Ela tem 5 faces





Ok, agora vamos cortar um dos cantos







A pedra ficou assim







Note que, ao cortar um dos cantos, nós criamos uma nova face.



Nós repetiremos o processo em cada um dos cantos da base da pedra.
Como ela tem 4 vértices na base, serão criadas 4 novas faces.


Se antes nós tínhamos 5, após cortarmos os cantos passaremos a ter 9 faces, 4 delas são triangulares, 4 são pentagonais (faces laterais) e um octógono (base).

Face lateral





Base




A quantidade de arestas em um poliedro é: a = (quantidade de faces com x arestas.x +quantidade de faces com y arestas.y +quantidade de faces com z arestas.z …)/2


Então são 4 faces triangulares, cada triângulo tem 3 arestas, portanto ⇒ 4*3.

4 faces pentagonais, cada uma com 5 arestas, portanto ⇒ 4*5.

E 1 octógono com 8 arestas, portanto ⇒ 1*8

Logo a quantidade de arestas será \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \large{ {4.3\;+4.5\;+1.8} \over {2} } = 20 } \)



Para toda superficie poliédrica convexa fechada: v +f = a +2





Então





Gabarito letra a.


Questões