(Enem 2019) No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V) : V +F = A +2. No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação foi sendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se que alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. Todas as faces que não podem ser vistas diretamente são retangulares.

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Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do poliedro apresentado na figura?






Nós precisamos descobrir quantas arestas, vértices e faces ele tem.
Vamos lá.


Considere apenas o poliedro maior (sem o “buraco” no meio)


Isto é apenas um cubo.
Um cubo tem 6 faces.


A quantidade de arestas em um poliedro é a = (quantidade de faces com x arestas.x +quantidade de faces com y arestas.y +quantidade de faces com z arestas.z …)/2

São 6 faces quadrangulares, cada uma tem 4 arestas, portanto ⇒ 6*4

Assim sendo




Além do mais, para toda superfície poliédrica convexa fechada: v +f = a +2


Então




Agora vamos descobrir quantas arestas, vértices e faces o poliedro esculpido em cima do cubo tem.




Note que ele é semelhante a um cubo, com um detalhe, ele não tem a parte de cima, ele é um poliedro aberto.

Então, como um cubo, ele tem 6 faces, contudo, como a de cima foi removida, ele tem 5 faces.

5 faces quadrangulares, cada com 4 arestas, portanto ⇒ 5*4

Então



Para toda superfície poliédrica convexa aberta: v +f = a +1

Logo




Temos então que, o total de arestas do poliedro é A = a₁ +a₂ = 12 +10 = 22

O total de faces do poliedro é F = 6 +5 = 11

E o total de vértices é V = v₁ +v₂ = 8 +6 = 14


Finalmente descobrimos que V +F = A +3




Gabarito letra e.


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