(Ita 1998) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é:






Considere



Como eles formam uma progressão aritmética, então temos que



Contudo, f também é




Igualando eq2 com eq3




Substituindo r em eq1, temos que




Se f = q +t, então, f = 3q


A quantidade de arestas em um poliedro é a = (quantidade de faces com x arestas.x +quantidade de faces com y arestas.y +quantidade de faces com z arestas.z …)/2

O nosso poliedro tem t faces triangulares, cada uma tem 3 arestas, portanto ⇒ 3t

E q faces quadrangulares, cada com 4 arestas, portanto ⇒ 4q

Logo, a quantidade de arestas é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ a = \large{ {4q\;+3t} \over {2} } } \)



Mas t é igual a 2q, portanto




Para toda superficie poliédrica convexa fechada: v +f = a +2


v a questão diz que é 10.
f é 3q.
E “a” é 5q



Assim sendo




Substituindo q em eq4





Gabarito letra c.


Questões