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(Unitau) A soma S das áreas das faces de um tetraedro regular em função de sua aresta é:






Um tetraedro é uma pirâmide de base triangular (este sólido é muito recorrente nas questões)



A área deste poliedro, é a soma das áreas dos 4 triângulos que o formam.

Mas, a questão diz que ele é regular, isto significa que suas faces são polígonos regulares e congruentes.

Polígonos regulares são equiângulos e equiláteros.




Ou seja, se uma aresta mede “a”, todas as outras também medem “a”





Todos os triângulos são iguais e equiláteros



Por isso, as áreas dos triângulos também são iguais.
Logo, nós só precisamos calcular a área de um deles e multiplicar por 4 (quantidade de triângulos que o formam) para obter a área do poliedro



Área de um triângulo: \( A = \Large{ {b.h} \over {2} } \)
b: base
h: altura



Precisamos descobrir h

Ai está a altura do triângulo



Aplicando Pitágoras

\( h^2\;+ { \large{ ({ {a} \over {2} })^2 } } = a^2\)


\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ h = { \large{ {a\sqrt 3} \over {2} } } } \)




Então a área de um triângulo é

\( A = \Large{ {a. { \LARGE{ {a\sqrt 3} \over {2} } } } \over {2} } \)


\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ A = \large{ {a^2 \sqrt 3} \over {4} } }\)





A área dos 4 triângulos é

\( A_4 = 4{\large{ {a^2 \sqrt 3} \over {4} } } \)


\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ A_4 = a^2 \sqrt 3 } \)





Gabarito letra b.


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