(Cefet)
O valor da soma \(log({ {1} \over {2} }) +log({ {2} \over {3} }) +log({ {3} \over {4} }) + ... + log({ {99} \over {100} })\) é:
Segundo a propriedade do logaritmo da divisão \(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_a\;{\Large{ { {b} \over {c} } } } = log_a\; b -log_a\; c}\)
Portanto
Assim sendo
log 2 +log 2 -log 3 +
log 3 -log 4 +log 4 ... -
log 99 +log 99 -log 100
O fato de o “denominador de um log“ ser o “numerador do log” seguinte, substituindo os logs originais pelo logaritmo da divisão, um termo cancela o outro e no final das contas restam apenas 2: log 1 e log 100, ou seja
log 2 +log 2 -log 3 +
log 3 -log 4 +log 4 ... -
log 99 +log 99 -log 100 = log 1 -log 100
Finalmente, log 1 = 0 e log 100 = 2 ∴
log 1 -log 100 = 0 -2 = -2
Gabarito letra c.
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