Dos 3 termos da equação 2 estão na base 3, vamos converter o único que não está base 3 para que todos fiquem com a mesma base, isso deve facilitar o trabalho.
Pela propriedade da mudança de base, loga b em uma nova base c é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_{a}\;b = \Large{ { log_{c}\;b } \over { log_{ c }\;a } } }\)
Então \( log_{ {\Large{ {1} \over {3} } } }\;(x -1) \) na base 3 é
Substituindo o 2º termo da equação pelo valor encontrado \(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_{3}\;(x^{2} -2x -3)\; -log_3\;(x -1) = log_{3}\;(x +1) }\)
Pela propriedade do logaritmo da divisão \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_{ \large{a} }\;{ \Large{ {b} \over {c} } } = log_{ \large{a} }\;b\; -log_{ \large{a} }\;c }\)
Portanto
\(log_3\;{\Large{ ({ { x^2 -2x -3 } \over { x -1 } }) } } = log_3\;( x +1 )\), considere \( { \Large{ { x^{2} -2x -3 } \over { x -1 } } } = f(x)\) e x +1 = g(x)
\(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_{ 3 }\;f( x ) = log_{ 3 }\;g( x ) }\)
Sendo f(x) e g(x) funções estritamente crescentes e \(log_{ a }\;f( x ) = log_{ a }\;g( x )\) conclui-se que f(x) = g(x)
Portanto
\({ \Large{ { x^{2} -2x -3 } \over { x -1 } } } = x +1\)
Mas atenção, x não pode ser -1 porque na equação original há o termo \(log_{ \Large{ {1} \over {3} } }(x -1)\), se x = -1 ficaremos com \(log_{ \Large{{1} \over {3} } }\;-2\) e o logaritmando não pode ser negativo, portanto não há nenhum valor de x que satisfaça a equação, por isso o conjunto das soluções é vazio.
