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(Fatec 2010) Na figura estão representados no plano cartesiano xOy, parte do gráfico da função real f definida por \(f(x) = log_{ \Large{ {1} \over {10} } } (x + 2)\) e a reta r que intercepta o gráfico de f nos pontos A(a; 1) e B(98; b).


Sendo assim, a abscissa do ponto de intersecção da reta r com o eixo Ox é






A reta r é uma função afim f(x) = ax +b, se nós descobrirmos "A" e "B" conseguimos descobrir o ponto (x, 0).





Para descobrir a declividade da reta nós só precisamos de 2 pontos por onde ela passa, segundo a questão A = (a1, 1) e B = (98, b1), precisamos determinar os valores de a1 e b1.


A e B pertencem à função logarítmica dada, portanto

\(f(a) = log_{ \Large{ {1} \over {10} } }\;( a + 2 )\)




\(1 = log_{ \Large{ {1} \over {10} } }\;( a + 2 )\), pela definição de logaritmo loga b = x ⬄ ax = b




\( {\Large{ ({ {1} \over {10} } })^1 } = a +2\)




\( {\Large{ ({ {1} \over {10} } })^1 }\; -2 = a\)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ a = -\Large{ {19} \over {10} } } \)







Descobrir o B agora:

\(f( 98 ) = log_{ \Large{ {1} \over {10} } }\;( 98 + 2 )\)



\(f( 98 ) = log_{ \Large{ {1} \over {10} } }\;100\)




\( {\Large{ ({ {1} \over {10} })^{f(98)} } } = 100 \)




\( (10^{-1})^{f(98)} = 10^2 \)




\( 10^{-f(98)} = 10^2 \), as bases são iguais nos dois lados da equação, podemos eliminá-las




\( -f(98) = 2 \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ f(98) = -2 } \)











Agora podemos calcular o "a" (declividade da reta)

\(a = { \Large{ { y2 - y1 } \over { x2 - x1 } } }\), (x1, y1) = A = (-19/10, 1) e (x2, y2) = B = (98, -2)




\(a = { \Large{ { -2 -1 } \over { 98 - {\LARGE{ (-{ {19} \over {10} } }) } } } }\)




\(a = \Large{ { -3 } \over { 98 +{\LARGE{ { {19} \over {10} } } } } }\)




\(a = \Large{ { -3 } \over { {\LARGE{ { {999} \over {10} } } } } }\)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ a = \Large{ {-1} \over {33,3} } } \)







A declividade de uma reta é constante, portanto a declividade entre os pontos A e B é igual a declividade entre os pontos A e D.



D = (d1, 0), d1 é o valor que nós procuramos

\(a = { \Large{ { y2 - y1 } \over { x2 - x1 } } }\), (x1, y1) = A = (-19/10, 1) e (x2, y2) = D = (d1, 0)




\( {\Large{ {-1} \over {33,3} } } = \Large{ { 0 -1 } \over { d1 - {\LARGE{ (-{ {19} \over {10} } }) } } }\)




\({\Large{ {-1} \over {33,3} } } = \Large{ { -1 } \over { d1 -{\LARGE{ (-{ {19} \over {10} } }) } } }\)




\({\Large{ {-1} \over {33,3} } }(d1 - { \Large{ {-19} \over {10} } }) = -1\)




\(d1 +{\Large{ {19} \over {10} } } = \Large{ {1} \over { \LARGE{ {1} \over {33,3} } } }\)




\(d1 +{\Large{ {19} \over {10} } } = 33,3\)




\( d1 = 33,3\; -{\Large{ {19} \over {10} } } \)




\(d1 = { \Large{ {333} \over {10} } } - { \Large{ {19} \over {10} } } \)




\( d1 = \Large{ {314} \over {10} } \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ d1 = 31,4 } \)





Gabarito letra d.


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