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(Idabe) O valor da expressão \(log_6\; 3 .log_3\; 6\; +log_3\; 7\; +log_{\Large{ {1} \over {3} } }\; 7\; +log_{10}\; 10\) é






Pela propriedade da mudança de base, loga b em uma nova base c é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_a\;b = \Large{ { log_c\;b } \over { log_c\;a } } }\)



Então log6 3 na base 3 é

\( log_6\;3 = \Large{ {log_3\;3} \over {log_3\;6} } \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_6\;3 = \Large{ {1} \over {log_3\;6} } }\)








\( log_{\Large{ {1} \over {3} } }\; 7 \) também na base 3 é


\( log_{\Large{ {1} \over {3} } }\; 7 = \Large{ {log_3\;7} \over {log_3\;{\Large{ {1} \over {3} } } } }\)




\( log_{\Large{ {1} \over {3} } }\; 7 = \Large{ {log_3\;7} \over {log_3\;3^{-1} } }\), pela propriedade do logaritmo da potência loga bn = nloga b




\( log_{\Large{ {1} \over {3} } }\; 7 = \Large{ {log_3\;7} \over {-1log_3\;3 } }\)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_{\Large{ {1} \over {3} } }\; 7 = -log_3\;7 }\)








Finalmente, o valor da expressão é


\( {\Large{ {1} \over {log_3\;6} } }.log_3\;6\; +log_3\;7\; -log_3\;7\; +log_{10}\;10\)




\( 1\; +1\)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ 2 } \)





Gabarito letra c.


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