(Espcex 2014) Seja x um número real, I a matriz identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2, cujos elementos são definidos por a_ij = i −j. Sobre a equação em x definida por det(A − x. I) = x +det(A) é correto afirmar que






I é uma matriz identidade de ordem 2, então \( I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)



Agora vamos montar a matriz A.

Aí está ela, vazia

\( A = \begin{pmatrix} \; & \; \\ \; & \; \end{pmatrix} \)



segundo a questão a_ij = i -j. a_ij representa um elemento qualquer da matriz, sendo que i indica a linha do elemento e j é a coluna, ou seja, a₁₁ é o elemento na linha 1 e coluna 1

\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & \; \\ \; & \; \end{pmatrix} \)



a₁₂ é o elemento na linha 1 e coluna 2

\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ \; & \; \end{pmatrix} \)




a₂₁ é o elemento na linha 2, coluna 1 e a₂₂ é o elemento na linha 2 e coluna 2

\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \)


Esta é a representação genérica de uma matriz quadrada de ordem 2 (matriz 2x2,2 linhas por 2 colunas)



Com a lei de formação vamos substituir os termos genéricos pelos seus valores correspondentes, a₁₁ = 1 -1 = 0




a₁₂ = 1 -2 = -1




a₂₁ = 2 -1 = 1




a₂₂ = 2 -2 = 0




Agora temos que calcular seu determinante.



Muito simples, basta multiplicar os elementos da diagonal principal




multiplicar os elementos da diagonal secundária e multiplicar o produto por -1




e somar tudo det(A) = 0 +1 ∴ det(A) = 1




Agora vamos calcular det(A -x. I).

1º passo: multiplicar x.I

\( x.I = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} \)





2º passo: subtrair A -xI

\( A -x.I = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} \)


\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ A -x.I = \begin{pmatrix} -x & -1 \\ 1 & -x \end{pmatrix} }
\)





Agora vamos calcular seu determinante.


Multiplicar os elementos da diagonal principal




multiplicar os elementos da diagonal secundária e multiplicar o produto por -1




e somar tudo det(A -xI) = x² +1




Então ficamos com a equação




Agora nós temos que encontrar suas raízes, ou seja, os valores de x que satisfazem a equação.



As raízes de uma equação do 2º grau são dadas por Bhaskara: \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ x = \Large{ {-b\; \pm\sqrt \Delta} \over {2a} } }\)


Δ é conhecido como discriminante da função de 2º grau e pode ser calculado pela expressão: Δ = b² -4ac




Vamos começar calculando-o





Portanto


Se \(x = \Large{ {1\; +1} \over {2} }\)   ➞   x = 1



Se \(x = \Large{ {1\; -1} \over {2} }\)   ➞   x = 0




Gabarito letra c.


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