(Ita 1980)
Sejam A, B e C matrizes reais quadradas de ordem n e 0
n a matriz nula também de ordem n.
Considere as afirmações:
I. AB = BA
II. AB = AC → B = C
III. A2 = 0n → A = 0n
IV. (AB)C = A(BC)
V. (A -B)2 = A2 -2AB +B2
Então podemos afirmar que:
I. AB = BA
✘
Falsa.
A multiplicação de matrizes não é comutativa ou seja AB ≠ BA
II. AB = AC → B = C
✘
Falsa.
A seta pode ser lida como “se/então”, ou seja AB = AC se B = C ou AB = AC então B = C.
Será ? Se AB = AC implica que B = C ?
Não. Podemos provar que esta afirmação está
Considere as matrizes \( A =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
3 & 0
\end{pmatrix}
\), \( B =
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
4 & 5
\end{pmatrix}
\) e \( C =
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix}
\)
Temos que \( AB = AC =
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\)
ou seja AB = AC mesmo que B ≠ C.
Conclusão, se AB = AC, não implica que B = C.
III. A
2 = O
n → A = O
n ✘
Falsa.
Há na matemática as matrizes nilpotentes. São matrizes quadradas que elevadas à k, tal que k ∊ N*, resultam na matriz nula, ou seja Ak = 0n
Se k for o menor valor que satisfaz a condição acima, diz-se que A é nilpotente de índice k.
Exemplo, \( A =
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\), é uma matriz nilpotente de índice 2, pois A2 = 02.
\( B =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\), é uma matriz nilpotente de índice 3, pois A3 = 03.
IV. (AB)C = A(BC)
✓
Correta.
Esta é a propriedade associativa da multiplicação de matrizes.
V. (A − B)
2 = A
2 − 2AB +B
2 ✘
Falsa.
Vejamos um contra-exemplo que contraria a afirmação.
Considere \( A =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\) e \( B =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\)
Temos que \( (A -B)^2 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\) e \( A^2 -2AB +B^2 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\)
Portanto concluímos que (A -B)2 ≠ A2 -2AB +B2
Gabarito letra b.
Questões
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