(Enem 2014) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2^x.5^y.7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é










Para encontrar a quantidade de divisores positivos de um número natural N é muito simples.




Primeiro nós fatoramos N em números primos, exemplo: 22 = 2³.3².5¹

A questão já deu N fatorado N = 2^x.5^y.7^z




Segundo, aplicar a fórmula de Euler: considere um número natural qualquer N fatorado, N = P₁ ^k1 +P₂ ^k2 +P₃ ^k3 +...+P_n ^kn.

Segundo a fórmula de Euler a quantidade de divisores positivos de N é o produto dos expoentes acrescidos de 1

D(N) = (k1 +1)(k2 +1)(k3 +1)...(Kn +1)







Aplicando a fórmula de Euler, a quantidade de divisores do N dado é (x +1)(y +1)(z +1).


Dentre estes divisores está o próprio N e a questão pede “o número de divisores de N, diferentes de N”, portanto a quantidade de divisores de N excluindo-o é

(x +1)(y +1)(z +1) -1




Gabarito letra e.


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