(Unigranrio 2017)
Sabe-se que N = 2.5.21m possui 64 divisores. Dessa forma, podemos afirmar que a soma dos algarismos de N é igual a:
Para calcularmos a quantidade de divisores de um número nós utilizamos a fórmula de Euler
Funciona da seguinte maneira.
1º nós fatoramos o número, a questão já deu o N parcialmente fatorado 2.5.21m
Mas, para continuarmos, devemos fatorar o N por completo, temos então que
N = 2.5.(3.7)m
N = 2.3m.5.7m
Em seguida nós calculamos o produto dos expoentes acrescidos de uma unidade
D(N) = (1 +1)(m +1)(1 +1)(m +1)
64 = 2(m +1)2(m +1)
64 = 4(m +1)(m +1)
16 = (m +1)(m +1)
16 = m2 +2m +1
m2 +2m -15 = 0
Nós precisamos encontrar os valores de m que satisfazem a equação.
E para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ m = \Large{ {-b\; \pm\sqrt{\Delta} } \over {2a} } } \)
Δ é conhecido como fenômenor discriminante e seu valor é: Δ = b2 -4ac
a: coeficiente do m2
b: coeficiente do m
c: termo independente, se ele não aparecer na função nós podemos considerá-lo igual à 0
Finalmente, a soma dos algarismos de N é 9 +2 +6 +1 +0 = 18
Gabarito letra c.
Observação: a fórmula de Euler calcula apenas a quantidade de divisores positivos do número.
A questão diz que N tem 64 divisores, a forma como ela fala dá a entender que este é o total de divisores de N, incluindo os negativos, contudo não é o caso.
