(Cesgranrio) Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte de baixo. Ao ser colocada para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima e, 35 minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo que em cada minuto a quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em quanto tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo?








Note que a areia na parte de cima da ampulheta tem um formato de cone de altura h





35 min depois nós temos um restinho de areia que também tem formato de cone





mas de altura h/2


É como se o cone pequeno fosse igual ao grande, só que menor, portanto nós podemos afirmar que eles são semelhantes.

Assim sendo, suas medidas são proporcionais, ou seja, se a altura do grande dividida pela altura do pequeno é k, \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \LARGE{ {h} \over { {h} \over {2} } } } = k } \)


Então, é garantido que, o volume do grande, v_g, dividido pelo volume do pequeno, v, é k³, \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \Large{ {v_g} \over {v} } } = k^3 } \) (eq1)




Sabendo que \( { \LARGE{ {h} \over { {h} \over {2} } } } = k \), então





Substituindo k em eq1





Então nós sabemos que o volume do cone pequeno é 8x menor que o volume do grande.

O volume de areia no cone pequeno + volume de areia que caiu em 35 min = volume de areia no cone grande





Em 35 min cairam 7/8 da areia do cone grande, em quanto tempo cairá o 1/8 restante

35 --------- 7v_g/8

x --------- v_g/8


x = 5 min




Gabarito letra a.




Caso não se lembre como funciona a semelhança de pirâmides ou cones, aqui está troncos de pirâmides e cones


Questões