(Cesgranrio)
Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais a x. O volume dessa pirâmide é:
Uma pirâmide quadrangular é uma pirâmide de base quadrada.
e
todas as arestas medem x
Uma pirâmide regular é uma pirâmide cujo polígono da base é regular e a pirâmide é
reta.
Lembrete: polígonos regulares são equiângulos e equiláteros.
Se a pirâmide é reta, o vértice está alinhado com o centro da base, ou seja, se nós traçarmos a altura
O está bem no meio da base.
Vamos traçar uma reta de O até a face lateral direita
Como “O” é o centro da base, porque a pirâmide é reta, então OC mede a metade do lado do quadrado, ou seja, x/2 m
por fim, vamos traçar uma reta “a” de C até V
Note que “a” é altura do triângulo da face lateral direita
a altura de um triângulo equilátero divide a base ao meio, logo w mede a metade de x
Por Pitágoras
\(a^2 +{ \Large{ ({ {x} \over {2} })^2 } } = x^2\)
\(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ a^2 = { \Large{ {3x^2} \over {4} } } }\)
Agora note o triângulo retângulo VOC na pirâmide.
Por Pitágoras
\(h^2 +{ \Large{ ({ {x} \over {2} })^2 } } = a^2\)
\(h^2 + {\Large{ {x^2} \over {4} } } = { \Large{ {3x^2} \over {4} } }\)
\(h^2 = { \Large{ {2x^2} \over {4} } }\)
\(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ h = { \Large{ {x\sqrt 2} \over {2} } } }\)
O volume de uma pirâmide é: \(\large{v} = \Large{ {A_b.h} \over {3} }\)
Ab: área da base
h: altura da pirâmide
A base é um quadrado de lado x e portanto de área x
2.
Finalmente, o volume da pirâmide é
\({\LARGE{x^2 { {x\sqrt 2} \over {2} } } \over { \Large{ 3 } } }\)
\(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \Large{ {x^3\sqrt 2} \over {6} } } \)
Gabarito letra b.
Questões
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