(Espcex 2017)
O valor da altura de um cilindro reto de raio R, cujo volume é a soma dos volumes dos sólidos 1 e 2 é
Então nós temos um cilindro de raio R e altura h
cujo volume é igual a soma dos volumes dos sólidos 1 e 2.
Vamos calcular o volume de 1
O sólido 1 é um tronco de cilindro.
Considere um cilindro qualquer de altura “a”
Ao cortá-lo obliquamente
nós formamos um tronco de cilindro
tal que AB mede a/2
O volume de um tronco de cilindro é: V = A
b.h
m
Ab: área da base
hm: altura média
A altura média de um tronco de cilindro é a distância do centro da circunferência superior a base
e pode ser calculada facilmente pela fórmula \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ h_m = \large{ {altura\; maior\; +altura\; menor} \over {2} } }\)
Neste nosso caso, a altura média é
\( {\Large{ a + { {\LARGE{a} \over {2} } } } } \over { \Large{ 2 } }\)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \Large{ {3a} \over {4} } }\)
Portanto, o volume do nosso tronco é
\(\pi.R^2. { \Large{ {3a} \over {4} } }\)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \Large{ \pi.R^2.3a \over {4} } }\)
Agora, vamos calcular o volume de 2.
Vamos dividir em duas partes.
A porção inferior que é um cilindro
e a porção superior que é um cone
O volume de um cilindro é: V = A
b.h
Ab: área da base
h: altura
Assim sendo, o volume do nosso cilindro é \(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \Large { { \pi.R^2.a} \over {2} } }\)
O volume de um cone é: \(\large{v} = \Large{ {A_b.h} \over {3} }\)
Ab: área da base
h: altura do cone
Logo, o volume do nosso cone é
\( { \Large{ \pi.R^2}. \huge{ {a} \over {2} } } \over { \Large{ 3 } }\)
\(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \Large{ {\pi.R^2.a } \over {6} } }\)
O volume do sólido 2 é, o volume do cilindro +volume do cone, ou seja
\( \Large{ { {\pi.R^2.a} \over {2} } + { {\pi.R^2.a } \over {6} } }\)
O volume do sólido 1 + volume do sólido 2 é
\( \Large{ { \pi.R^2.3a \over {4} } + { { \pi.R^2.a} \over {2} } + { {\pi.R^2.a } \over {6} } }\)
\( \Large{ { 9a\pi.R^2 \over {12} } + { { 6a\pi.R^2} \over {12} } + { {2a\pi.R^2 } \over {12} } }\)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \Large{ { 17a\pi.R^2 \over {12} } } }\)
Finalmente, igualando o volume do cilindro com o volume dos sólidos 1 e 2
\(\pi.R^2.h = { \Large{ { 17a\pi.R^2 \over {12} } } }\)
\(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ h = { \Large{ { 17\over {12} } }a } }\)
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