(Fuvest 2015)
O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE = 2 cm, AD = 4 cm e AB = 5 cm.
A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a 4/3 do volume da pirâmide SEFGH é
1º vamos calcular o volume do sólido
Vamos dividi-lo em duas partes.
Uma pirâmide de volume v’p
e um paralelepípedo de volume vc
O volume do sólido é vs = v’p +vc
Vamos isolar a parte superior
Segundo a questão AD = 4 cm, AB = 5 cm e digamos que SA = x
O volume de uma pirâmide é: \(\large{v} = \Large{ {A_b.h} \over {3} }\)
Ab: área da base
h: altura da pirâmide
A base é um retângulo de medidas 4 e 5 cm, portanto sua área é 20 cm2.
A altura, distância entre o vértice e o plano da base, é o segmento SA que mede x.
Portanto, o volume da pirâmide é \(\Large{ {20x} \over {3} }\)
A porção inferior é um paralelepípedo
AE mede 2 cm
O volume de um paralelepípedo é simplesmente o produto das 3 dimensões, neste caso, 4*5*2 que dá 40.
O volume do sólido completo é \(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \Large{ {20x} \over {3} } } +40 }\)
Agora vamos calcular o volume da pirâmide SEFGH.
Aí está ela
SA mede x, AE mede 2, então SE mede 2 +x.
EF tem o mesmo tamanho de AB, logo EF = 5 cm.
EH tem o mesmo tamanho de AD, logo EH = 4 cm.
Note que SE é a altura da pirâmide.
A base é um retângulo de medidas 4 e 5 cm e portanto de área 20 cm2.
Assim sendo, o volume da pirâmide é \(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \Large{ {20.(2 +x)} \over {3} } }\)
Segundo a questão o volume do sólido é 4/3 do volume da pirâmide SEFGH, portanto
