(Uefs 2017) Se um cone circular reto tem altura igual a 4 cm e base circunscrita a um hexágono regular de lado medindo 2 cm, então a sua área lateral, em cm², mede, aproximadamente,






A área lateral de um cone é: A_l = πrg



Nós precisamos de r e g.

Segundo a questão, a base está circunscrita a um hexágono regular de lado 2 cm.

Em outras palavras, nós temos um hexágono dentro de uma circunferência de raio r





Note que nós podemos dividi-lo em 6 triângulos iguais (todos tem dois lados que medem r metros e 1 lado que mede 2).





Agora olhe atentamente para os ângulos centrais a, b, c, d, e e f




Perceba que além de serem iguais, porque os triângulos são iguais, a soma deles dá 360º, portanto, todos eles valem 60º.

Agora vamos destacar um dos triângulos





Note que AB e AC são raios da circunferência e portanto valem r





A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180, portanto 60 +β +𝜃 = 180

Se AB e AC são iguais então β = 𝜃, logo, 60 +β +β = 180, β = 60



Temos então que todos os ângulos são iguais, assim sendo, o triângulo é equilátero e consequentemente AB e AC medem 2




Moral da história, se um hexágono regular de lado medindo x estiver inscrito em uma circunferência, o raio da circunferência será x.

Ok, descobrimos o raio da base, agora só falta a geratriz.

Vamos dar uma olhada como está ficando o nosso cone





Segundo a questão, o cone é reto.

Esta informação é importante, porque para cones retos, nós temos que h² +r² = g² (eq1)




Assim sendo





Finalmente temos tudo que precisamos.

A área lateral do cone é





Gabarito letra b.


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