(Ufrgs 2019) Considere o paralelepípedo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H e a pirâmide de vértices B, F, G, H, inscrita no paralelepípedo, representados na figura a seguir.




A razão entre o volume da pirâmide e o volume do paralelepípedo é






Aí está nosso paralelepípedo e a nossa pirâmide, que é um tetraedro





Digamos que o segmento AB mede “a”, BG mede “c” e BC mede “b”





Assim sendo, HG também mede “a” e GF mede “b”





Agora, vamos calcular os volumes dos sólidos.

O volume de uma pirâmide é: \(\large{v} = \Large{ {A_b.h} \over {3} }\)




Vamos considerar que o triângulo HGF é a base da nossa pirâmide e GB é a altura.

Note que o ângulo HĜF da face superior do paralelepípedo é reto





Logo, o triângulo HGF é retângulo.

A área de um triângulo retângulo é o produto dos catetos dividido por 2.

Portanto a área de HGF é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \Large{ {ab} \over {2} } }\)




Assim sendo, o volume da pirâmide é





Já o volume de um paralelepípedo, é simplesmente o produto das 3 dimensões, neste caso, a*b*c



A razão entre o volume da pirâmide e o volume do paralelepípedo é





Gabarito letra a.


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