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(Unicamp 2019) Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a






Um tetraedro regular, um dos 5 poliedros regulares ou poliedros de platão, é uma pirâmide de base triangular com arestas de mesmo tamanho




A área total de um tetraedro regular é: at = a2√3
a: tamanho das arestas



A área total de um cubo é: at = 6l2
l: tamanho das arestas




Segundo a questão o tetraedro e o cubo têm áreas de superfície iguais, portanto

\(a^2\sqrt 3 = 6l^2\)



\({ \Large{ {a^2\sqrt 3} \over {l^2} } } = 6\)



\( \Large{ { {a^2} \over {l^2} } = { {6} \over {\sqrt 3} } }\)



\( \Large{ { {a} \over {l} } = { {\sqrt 6} \over {\sqrt[4] 3} } }\)



\( \LARGE{ { {a} \over {l} } } = \LARGE{ { {(6)^{ {1} \over {2} } } \over {\sqrt[4] 3} } }\)



\( \LARGE{ { {a} \over {l} } } = \LARGE{ { {(2.3)^{ {1} \over {2} } } \over {\sqrt[4] 3} } }\)



\( \LARGE{ { {a} \over {l} } } = \LARGE{ { {2^{ {1} \over {2} } }.3^{ {1} \over {2} } } \over {\sqrt[4] 3} }\)



\({\LARGE{ { {a} \over {l} } } }= { { \large{ \sqrt 2} } \; \LARGE{ {3^{ {1} \over {2} } } \over {3^{ {1} \over {4} } } } }\)



\({\LARGE{ { {a} \over {l} } } }= { { \large{ \sqrt 2} }\;.\; \Large{ 3^{ { {1} \over {2} } - { {1} \over {4} } } } }\)



\({\LARGE{ { {a} \over {l} } } }= { { \large{ \sqrt 2} }\;.\; \Large{ 3^{ { {1} \over {4} } } } }\)



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \LARGE{ { {a} \over {l} } } } = { \sqrt 2\;. \sqrt[{\large{4} }] 3 } }\)





Gabarito letra c.


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