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(X) A equação 4x +6x = 2.9x tem como solução o conjunto






Vamos reescrever a expressão


\( 2^{2x}\; +2^x.3^x = 2.3^{2x} \), dividir os dois lados por 32x




\( {\Large{ {2^{2x} } \over {3^{2x} } } }\; +{\Large{ {2^x } \over {3^x} } } = 2\)




\( {\Large{ ({ {2} \over {3} })^{2x} } }\; +{\Large{ ({ {2} \over {3} })^x } } = 2\)




\( {\Large{ (({ {2} \over {3} })^x)^2} }\; +{\Large{ ({ {2} \over {3} })^x } } = 2\), façamos \( {\Large{ ({ {2} \over {3} })^x } } = t\)




\( t^2 +t = 2 \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ t^2 +t -2 = 0 }\)






Agora nós precisamos encontrar os valores de t que satisfazem a equação.


E para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ t = \Large{ {-b\; \pm\sqrt{\Delta} } \over {2a} } }\)


Δ é conhecido como fator discriminante e seu valor é: Δ = b2 -4ac
a: coeficiente do t2
b: coeficiente do t
c: termo independente, se ele não aparecer na função nós podemos considerá-lo igual à 0




Vamos começar calculando-o

Δ = 12 -4.1(-2)


Δ = 9





Substituindo em Bhaskara

\(t = \Large{ {-1\; \pm\sqrt 9 } \over {2.1} }\)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ t = \Large{ {-1\; \pm3 } \over {2} } }\)






Se \( t = \Large{ {-1\; -3 } \over {2} }\) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{t = -2 } \)




Se \( t = \Large{ {-1\; +3 } \over {2} }\) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{t = 1 } \)







Nós substituímos \( {\Large{ ({ {2} \over {3} })^x } }\) por t, logo

\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {\Large{ ({ {2} \over {3} })^x } } = -2}\)



Não há nenhum valor de x que satisfaça a igualdade. Não há nenhum x que torne \( {\Large{ ({ {2} \over {3} })^x } }\) negativo.






Outro valor possível para t é 1

\( {\Large{ ({ {2} \over {3} })^x } } = 1\), qualquer número diferente de 0 elevado a 0 é 1



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ x = 0 } \)





Gabarito letra d.


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