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(X) A raiz da função \( y = 4^{\sqrt{x +1} }\; -1024.2^{\sqrt{x +1} } \) é:






A raiz da função é o valor de x para o qual y = 0, ou seja


\( 4^{\large{ \sqrt{x +1} } }\; -1024.2^{\large{ \sqrt{x +1} } } = 0 \)




\( (2^{\large{ \sqrt{x +1} } })^2\; -1024.2^{\large{ \sqrt{x +1} } } = 0 \), façamos \( 2^{\large{ \sqrt{x +1} } } = t\)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ t^2\; -1024t = 0 } \)







Agora nós precisamos encontrar os valores de t que satisfazem a equação.


E para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ t = \Large{ {-b\; \pm\sqrt{\Delta} } \over {2a} } }\)


Δ é conhecido como fator discriminante e seu valor é: Δ = b2 -4ac
a: coeficiente do t2
b: coeficiente do t
c: termo independente, se ele não aparecer na função nós podemos considerá-lo igual à 0





Vamos começar calculando-o

Δ = (-1024)2 -4.1.0



Δ = 10242







Substituindo em Bhaskara

\(t = \Large{ {-(-1024)\; \pm\sqrt{1024^2} } \over {2.1} }\)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ t = \Large{ {1024\; \pm1024 } \over {2} } }\)







Se \( t = \Large{ {1024\; -1024 } \over {2} }\) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{t = 0 } \)





Se \( t = \Large{ {1024\; +1024 } \over {2} }\) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{t = 1024 } \)






Nós substituímos \( 2^{\sqrt{x +1} }\) por t, logo

\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ 2^{\sqrt{x +1} } = 0 }\)



Não há nenhum valor de x que satisfaça a igualdade.






Outro valor possível para t é 1024

\( 2^{\sqrt{x +1} } = 1024\)



\( 2^{\sqrt{x +1} } = 2^{10} \), bases iguais nós podemos eliminá-las



\( \sqrt{x +1} = 10 \)



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{x = 99 } \)





Gabarito letra c.


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