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(X) A soma das raízes da equação exponencial
$$ 8^{ {\LARGE{ {x +1} \over {3} } } }\; +2^{3 -x} = 10 $$
é um número






Nós precisamos encontrar os valores de x que satisfazem a equação.


Vamos reescrevê-la


\( (2^3)^{ {\LARGE{ {x +1} \over {3} } } }\; +2^{\large{ 3 -x } } = 10 \)




\( 2^{ \large{ x +1 } }\; +2^{\large{ 3 -x} } = 10 \)




\( 2^x.2\; +2^3.2^{-x} = 10 \)




\( 2^x.2\; +{\Large{ {2^3} \over {2^x} } } = 10 \), façamos 2x = t




\( 2t\; +{\Large{ {2^3} \over {t} } } = 10 \), vamos multiplicar os dois lados por t




\( 2t^2\; +2^3 = 10t \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ 2t^2\; -10t\; +8 = 0 } \)






Agora nós precisamos encontrar os valores de t que satisfazem a equação.


E para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ t = \Large{ {-b\; \pm\sqrt{\Delta} } \over {2a} } }\)


Δ é conhecido como fator discriminante e seu valor é: Δ = b2 -4ac
a: coeficiente do t2
b: coeficiente do t
c: termo independente, se ele não aparecer na função nós podemos considerá-lo igual à 0





Vamos começar calculando-o

Δ = (-10)2 -4.2.8



Δ = 36







Substituindo em Bhaskara


\(t = \Large{ {-(-10)\; \pm\sqrt{36} } \over {2.2} }\)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ t = \Large{ {10\; \pm6 } \over {4} } }\)








Se \( t = \Large{ {10\; -6 } \over {4} }\) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{t = 1 } \)





Se \( t = \Large{ {10\; +6 } \over {4} }\) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{t = 4 } \)





Nós substituímos 2x por t, logo

2x = 1, qualquer número diferente de 0 elevado a 0 é 1



x = 0







Outro valor possível para t é 4

2x = 4



x = 2







A soma das raízes da equação é 2 +0 = 2




Gabarito letra c.


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