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(Enem 2013) Para um principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento diário: correr 300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo. Para contabilizar seu rendimento, ele utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos. Considere que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5 km de corrida/caminhada, devendo ser colocado no momento do início do treino e descartado após esgotar o espaço para reserva de dados. Se esse atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de treinamento, por quantos dias consecutivos esse chip poderá armazenar a quilometragem desse plano de treino diário?










Vamos lá.

Distância percorrida no 1º dia de treino, a1 = 0,3 km

Distância percorrida no 2º dia de treino, a2 = 0,5 km

Distância percorrida no 3º dia de treino, a3 = 0,7 km

Distância percorrida no 4º dia …


As distâncias percorridas formam uma P.A de razão r = 0,2 km.




No 1º dia ele corre 0,3 km, no 2º dia 0,5 km, no 3º dia 0,7 km, quantos dias ele leva para correr 9,5 km (capacidade máxima do chip) ?


A soma dos termos de uma P.A é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ S = \Large{ {n(a_1\; +a_n)} \over {2} } } \)
an: enésimo termo da P.A
a1: primeiro termo da P.A
n: quantidade de termos



Há dois valores desconhecidos, n e an e isto impede que se calcule o valor de qualquer um deles.





Porém nós sabemos também que o enésimo termo de uma P.A pode ser obtido pela fórmula an = a1 +(n -1).r
an: enésimo termo da P.A
a1: primeiro termo da P.A
r: razão




Substindo an em S por a1 +(n -1).r obtemos


\(S = \Large{ {n(a_1\; +(a_1\; +(n\; -1).r))} \over {2} }\)



\(9,5 = \Large{ {n(0,3\; +(0,3\; +(n\; -1).0,2))} \over {2} }\), agora há apenas uma incógnita e podemos calcular o n



\(9,5 = \Large{ {n(0,6\; +(n\; -1).0,2)} \over {2} }\)



\(9,5 = \Large{ {n(0,6\; +0,2n\; -0,2)} \over {2} }\)



\(9,5 = \Large{ {n(0,4\; +0,2n)} \over {2} }\)



\(19 = n(0,4\; +0,2n)\)



\(19 = 0,4n\; +0,2n^2\)



\(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ 0,2n^2\; +0,4n\; -19 = 0 }\)






Nós precisamos encontrar os valores de n que satisfazem a equação.


E para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ n = \Large{ {-b\; \pm\sqrt{\Delta} } \over {2a} } } \)


Δ é conhecido como fator discriminante e seu valor é: Δ = b2 -4ac
a: coeficiente do x2
b: coeficiente do x
c: termo independente, se ele não aparecer na função nós podemos considerá-lo igual à 0




Vamos começar calculando-o

∆ = 0,42 -4.0,2(-19)


∆ = 15,36





Substituindo em Bhaskara


\(n = \Large{ {-0,4\; \pm \sqrt{15,36} } \over {2.0,2} }\)



\(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ n = \Large{ {-0,4\; \pm 3,9 } \over {0,4} } }\)






Se \(n = \Large{ {-0,4\; -3,9} \over {0,4} }\) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ n = -10,75 } \)

Significa que a cada -10,75 dias ele deve trocar o chip, o quê não faz o menor sentido, portanto o resultado pode ser ignorado.





Se \(n = \Large{ {-0,4\; +3,9} \over {0,4} }\) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ n = 8,75 } \)

Significa que a cada 8,75 dias ele deve trocar o chip, ele consegue completar 8 dias de treinamento e 75% do nono dia de treino, contudo ele perde 25% deste último dia, portanto ele deve trocar o chip após completar o 8º dia de treinamento.




Gabarito letra b.


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