(Fuvest 2019)
A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos eles com formato de um paralelepípedo reto‐retângulo. A base de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm, e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é de 10 cm. Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão, seu volume será igual a
Um paralelepípedo é um sólido que parece uma caixa de sapatos
cujo volume é simplesmente o produto das 3 dimensões (largura, comprimento e altura) v = l. c. a
As dimensões do 1º degrau são 50x20x10
portanto seu volume é
v1 = 50.20.10
v1 = 10.000 cm3
O 2º degrau é quase idêntico ao 1º, com uma pequena diferença, ele tem 20 cm de altura
o volume do 2º degrau é
v2 = 50.20.20
v2 = 20.000 cm3
O 3º tem dimensões 50x20x30
seu volume é
v3 = 50.20.30
v3 = 30.000 cm3
O 4º degrau tem o mesmo comprimento e a mesma largura do 3º, sendo que ele tem 10 cm a mais de altura, assim sendo
v4 = 50.20.40
v4 = 40.000 cm3
Repare que, os volumes dos degraus formam uma P. A de razão 10.000 cm3 sendo que o volume do 1º degrau é v1 = 10.000 cm3.
O volume do 2º degrau é v2 = 20.000 cm3.
O volume do 3º degrau é v3 = 30.000 cm3.
E assim por diante.
Segundo a fórmula do termo geral de uma P. A an = a1 +(n -1)r
an: enésimo termo da P. A.
a1: primeiro termo da P. A.
n: quantidade de termos da P. A.
r: razão
Logo, o volume do último degrau é
a20 = 10000 +(20 -1)10000
a20 = 200.000 cm3
A soma dos termos de uma P. A é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ S = \Large{ {n(a_1\; +a_n)} \over {2} } } \)
an: enésimo termo da P. A.
a1:primeiro termo da P. A.
n: quantidade de termos da P. A.
Finalmente, o volume da escada é
\( S = \Large{ {20(10000\; +20000)} \over {2} } \)
