(Ufpb) Uma escada foi feita com 210 blocos cúbicos iguais, que foram colocados uns sobre os outros, formando pilhas, de modo que a primeira pilha tinha 1 bloco, a segunda 2 blocos, a terceira 3 blocos, e assim sucessivamente, até a última pilha, conforme a figura a seguir.




A quantidade de degraus dessa escada é:






Cada pilha é um degrau da escada, em outras palavras, o que a questão quer é a quantidade de pilhas.


Na 1ª pilha nós temos 1 bloco.


Na 2ª pilha nós temos 2 blocos.


Na 3ª pilha são 3 blocos.


E assim por diante.



Note que a quantidade de blocos em uma pilha é igual a quantidade de blocos na pilha anterior +1 p_n = p_{n -1} +1






Veja que as quantidades de blocos nas pilhas formam uma P. A de razão 1 sendo o primeiro termo p₁ = 1, o segundo p₂ = 2, o terceiro p₃ = 3 etc.


Considerando que todos os blocos foram usados a quantidade de blocos na pilha 1 +a quantidade de blocos na pilha 2 +a quantidade de blocos na pilha 3 + … + a quantidade de blocos na pilha n = 210.





A soma dos termos de uma P. A é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ S = \Large{ {n(a_1\; +a_n)} \over {2} } } \)







Porém, nós não temos a_n.



Bem, segundo a fórmula do termo geral de uma P. A a_n = a₁ +(n -1)r




Substituindo a_n na fórmula da soma







Agora nós precisamos encontrar os valores de n que satisfazem a equação.


E para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ n = \Large{ {-b\; \pm\sqrt{\Delta} } \over {2a} } } \)


Δ é conhecido como fator discriminante e seu valor é: Δ = b² -4ac








Vamos começar calculando-o







Substituindo em Bhaskara








Se \( n = \Large{ {-1\; -41 } \over {2} } \) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{n = -21 } \)



Este resultado não nos interessa, porque a quantidade de pilhas não pode ser negativa.







Se \( n = \Large{ {-1\; +41 } \over {2} } \) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{n = 20 } \)




Gabarito letra d.


Questões