(Fgv) Sejam dois números reais positivos tais que a diferença, a soma e o produto deles são proporcionais, respectivamente, a 1, 7 e 24. O produto desses números é






Considere dois números quaisquer “a” e “b”.


A diferença, a soma e o produto deles são proporcionais, respectivamente, a 1, 7 e 24.


Mas o que significa dizer que eles são proporcionais ?





Considere duas sequências numéricas A (a₁, a₂, a₃, …) e B (b₁, b₂, b₃, …).


Elas são diretamente proporcionais se as razões de cada termo de A pelo seu correspondente em B forem iguais, ou vice-versa.


Ou seja, o primeiro valor em A dividido pelo primeiro valor em B, \( \Large{ {a_1} \over {b_1} } \), é igual ao segundo valor em A dividido pelo segundo valor em B, \( \Large{ {a_2} \over {b_2} } \), que por sua vez é igual ao terceiro valor em A dividido pelo terceiro valor em B, \( \Large{ {a_3} \over {b_3} } \) e assim por diante \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {\Large{ {a_1} \over {b_1} } } = {\Large{ {a_2} \over {b_2} } } = {\Large{ {a_3} \over {b_3} } } = … = k } \).



k é uma constante qualquer chamada, fator de proporcionalidade.






Veja, nós temos duas sequências, a diferença, a soma e o produto (a -b, a +b, ab) que são proporcionais a (1, 7, 24) \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {\Large{ {a -b} \over {1} } } = {\Large{ {a +b} \over {7} } } = {\Large{ {ab} \over {24} } } = k } \).




Das igualdades acima nós determinamos que














E







Com 2 ou + equações nós podemos montar um sistema, é o que faremos

\( \begin{cases} a -b = k\; (eq1) \\ \\ a +b = 7k\; (eq2) \\ \\ ab = 24k\; (eq3) \end{cases} \)






Vamos somar eq1 +eq2





Substituindo “a” em eq3







Vamos subtrair ⇨ eq2 -7eq1





Finalmente o produto ab é 48.




Gabarito letra d.


Questões