Conhecido também como circunferência trigonométrica ou simplesmente ciclo, é uma circunferência orientada cujo centro está na origem de um sistema de coordenadas ortogonais (perpendiculares), sendo o eixo horizontal denominado cosseno e o eixo vertical seno
que dividem a circunferência em 4 partes/quadrantes iguais (nesta ordem)
cujo raio tem 1 unidade de comprimento
e o sentido anti-horário é positivo e o sentido horário é negativo
Se o raio tem 1 unidade de comprimento então os senos e cossenos de A, A’, B e B’ são
seno
cosseno
A
0
1
B
1
0
A'
0
-1
B'
-1
0
O círculo trigonométrico é utilizado para relacionar um arco, ou um ângulo, aos seus valores de seno e cosseno.
Nota: neste contexto, arco e ângulo podem ser tratados como sinônimos, pois a medida em graus ou radianos de um arco é igual ao ângulo central.
Vejamos como funciona.
Considere o arco AB, que se inicia em A e termina em B (ou o seu ângulo correspondente de 90º)
as coordenadas de B são seno 1 e cosseno 0, por isso nós dizemos que o arco AB ou ainda melhor, o ângulo de 90º tem seno 1 e cosseno 0.
E o arco AA’, que se inicia em A e termina em A’ (ou o seu ângulo correspondente de 180º)
o seno de A’ é 0 e o cosseno é -1, por isso nós dizemos que o ângulo de 180º tem seno 0 e cosseno -1.
Nós podemos determinar o seno e o cosseno de qualquer ângulo/arco.
Mais um exemplo, o ângulo de 30º tem o seno que vale 1/2 e o cosseno √3/2
enquanto que o seno do ângulo de 45º vale √2/2 e o cosseno também
E quanto ao ângulo de 540º ?
Note que os eixos dos senos e dos cossenos dividem a circunferência em 4 arcos iguais, e como já mencionado anteriormente o arco AB tem 90º, logo os outros 3 arcos também têm 90º, cada um
daí vem a expressão “Uma circunferência tem 360 o graus”.
Então, para atingirmos os 540º nós precisamos dar uma volta completa
+ 90º
+ 90º
o seno de 540º é 0 e o cosseno é -1.
Agora, algumas observações importantes:
1º) os arcos sempre se iniciam em A
2º) os valores mínimo e máximo do seno e do cosseno de um ângulo qualquer são -1 e +1 respectivamente, ou seja, considere um ângulo θ qualquer
-1 ≤ sen θ ≤ +1
-1 ≤ cos θ ≤ +1
3º) cada ponto sobre a circunferência pode representar infinitos ângulos, exemplo, o ponto A representa os ângulos 0º, 360º, 720º, 1080º etc.
4º) o quadrado do seno + quadrado do cosseno de um ângulo θ qualquer sempre será igual a 1
sen2 θ +cos2 θ = 1
Angulos notáveis
Os valores do seno e do cosseno de alguns ângulos você deve saber de cabeça são eles
seno
cosseno
30º
1/2
√3/2
45º
√2/2
√2/2
60º
√3/2
1/2
Redução ao 1º quadrante
Reduzir ao 1º quadrante é uma forma de descobrirmos o seno e o cosseno de ângulos que estão no 2º, 3º ou 4º quadrante estabelecendo relações com os ângulos notáveis.
Exemplo, qual o seno e o cosseno de 150º ?
Para atingirmos os 150º, nós precisamos percorrer 90º
+ 60º
para os 180º faltam apenas 30º
vamos traçar uma reta paralela ao eixo dos cossenos até o 1º quadrante
agora vamos traçar o raio de O até C
o ângulo AÔC é igual ao ângulo A’ÔC’, ou seja, AÔC mede 30º
podemos ver facilmente que o seno de 150º é igual ao seno de 30º que vale 1/2.
E se os senos são iguais, então os cossenos também são, diferindo apenas no sinal, o cosseno de 30º é +√3/2 e o cosseno de 150º é -√3/2.
Mas por que AÔC é igual a A’ÔC’ ?
Bem, eu acredito que seja bastante intuitivo, mas vamos provar.
Considere um ângulo â qualquer no 2º quadrante
o raio forma um ângulo α com o eixo dos senos e β com o eixo dos cossenos
vamos traçar uma reta paralela ao eixo dos cossenos até o 1º quadrante que cruza o eixo dos senos em P
agora vamos traçar o raio de O até C que forma um ângulo ϕ (phi) com o eixo dos cossenos
note o triângulo isósceles C’OC com vértice em O cujo ângulo mede θ
perceba que OP é a altura de C’OC.
A altura de um triângulo isósceles é a bissetriz do ângulo do vértice, lembre-se, a bissetriz de um ângulo é o segmento de reta que o divide ao meio, logo se C’ÔP mede α
PÔC também mede α
Nós já sabemos que α +ϕ = 90º e α +β = 90º, logo
α +ϕ = α +β
ϕ = β
Bem, agora vamos selecionar um ângulo no 3º quadrante, por exemplo 210º.
210º é 180º +30º
vamos prolongar a reta C’O até o 1º quadrante
note que os ângulos CÔA e C’ÔA’ são opostos pelo vértice, logo, são iguais e CÔA também mede 30º
sendo assim, o seno e o cosseno de 210º são iguais ao seno e o cosseno de 30º, diferindo apenas no sinal, o seno de 30º é +1/2 e o seno de 210º é -1/2, o cosseno de 30º é +√3/2 e o cosseno de 210º é -√3/2.
Mas por que o seno e o cosseno de 210º e 30 º são iguais ?
Vamos estudar um caso geral.
Considere um ângulo â qualquer no 3º quadrante
o raio r1 forma um ângulo α com o eixo dos cossenos
vamos traçar uma reta paralela ao eixo dos senos até o 2º quadrante
agora vamos traçar o raio r2 de O até C que forma um ângulo ϕ com o eixo dos cossenos
pelas propriedades do triângulo isósceles já mencionadas, nós podemos provar que α é igual à ϕ.
O cosseno de r1 é igual ao cosseno de r2, logo, os senos também são iguais, pelo menos em módulo.
E como já provado anteriormente, o seno e o cosseno de r2, que forma um ângulo α com o eixo dos cossenos são iguais, em módulo, ao seno e o cosseno de α
Logo, por transitividade, o seno e o cosseno de r1 são iguais, em módulo, ao seno e o cosseno de α.
Finalmente, vamos reduzir um ângulo do 4º quadrante.
Qual o seno e o cosseno de 330º ?
330º está a 30º de 360º
vamos traçar uma reta paralela ao eixo dos senos até o 1º quadrante
agora vamos traçar o raio de O até C que forma um ângulo ϕ com o eixo dos cossenos
note que o cosseno de 330º é igual ao cosseno de ϕ e portanto os senos também são iguais, em módulo.
Pelas propriedades do triângulo isósceles, nós podemos provar que ϕ é igual à 30º (ver justificativa do 1º caso).
Logo, o seno de 330º é -1/2 e o cosseno é +√3/2.
É só isso, simples não ? Assim que você pegar o jeito, a redução ao 1º quadrante se tornará algo trivial e você conseguirá realizá-la sem realizar nenhum esforço mental.
Devo notar também que, a explicação está bem detalhada, talvez mais do que o necessário, para não exigir nenhum salto de fé, por exemplo, eu poderia ter simplesmente dito que o seno e o cosseno de 210º e 30 º são iguais e pronto, mas preferir justificar para deixá-lo(a) sem sombras de dúvida.
Ah, e os procedimentos acima servem para quaisquer ângulos, sejam eles menores ou maiores que 360º.
Se você preferir, pode utilizar as seguintes regras para descobrir o seno e o cosseno de um ângulo θ, em graus.
sen(180 -θ) = sen θ e cos(180 -θ) = -cos θ, tal que 90 < θ < 180
sen(180 +θ) = -sen θ e cos(180 +θ) = -cos θ, tal que 180 < θ < 270
sen(360 -θ) = -sen θ e cos(360 -θ) = cos θ, tal que 270 < θ < 360
O seno e o cosseno são os principais e mais comuns valores associados aos ângulos, mas outra grandeza que também deve ser mencionada é a
Tangente
Tangente é outro valor associado aos ângulos.
Se nós determinamos o valor do seno no eixo dos senos e o valor do cosseno no eixo dos cossenos, a tangente de um ângulo estará no eixo das tangentes
uma reta que tangência o círculo trigonométrico em A.
Para descobrirmos a tangente de um ângulo α qualquer é muito fácil, há 4 situações, mas que são idênticas
1ª situação α está no 1º quadrante
é só prolongar OC até o eixo das tangentes
2ª situação α está no 2º quadrante
prolonga OC novamente
se α estiver no 3º ou 4º quadrante
é mais do mesmo, prolongar OC
eu poderia passar mais 10 minutos falando sobre ângulos simétricos e como calcular a tangente deles, mas eu prefiro encurtar a explicação e ensiná-lo(a) a calcular a tangente de um ângulo simples e rapidamente.
A tangente de um ângulo α é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ tg\; \alpha = \Large{ {sen\; \alpha} \over {cos\; \alpha} } }\)
Se cos α = 0, então tg α é indefinida, exemplo, os cossenos de 90º, 270º, 450º, 630º … são todos 0, portanto as tangentes de 90º, 270º, 450º, 630º … são indefinidas.
A tangente de um ângulo pode ser menor que -1 e maior que +1.
Até aqui foram discutidas 3 medidas ligadas a ângulos que aparecem recorrentemente nas questões, não apenas de matemática como em física também, mas ainda não acabou, há outras 3 para estudarmos, todavia estas 3 últimas são muito menos frequentes e quase nunca são utilizadas nos exercícios, um conselho, não se preocupe tanto com elas, dê uma lida apenas para se familiarizar.
Secante, cossecante e cotangente
Secante, cossecante e cotangente são as razões trigonométricas inversas do cosseno, seno e tangente respectivamente, ou seja
Vamos traçar uma reta t que tangência a circunferência em C
a secante de α é o ponto onde t intercepta o eixo dos cossenos
e a cossecante é o ponto onde t intercepta o eixo dos senos
não importa em qual quadrante o ângulo está, é só trançar uma tangente e onde ela interceptar o eixo dos cossenos será a secante e o ponto onde ela intercepta o eixo dos senos será a cossecante do ângulo.
A cotangente, por sua vez, está em um eixo próprio, o eixo das cotangentes, uma reta que tangência a circunferência em B
a cotangente de α é o ponto onde o prolongamento de OC intercepta o eixo das cotangentes
2 observações:
1º- a secante, cossecante e cotangente podem ser menores que -1 e maiores que +1.
2º- se o seno, o cosseno ou a tangente de um ângulo for 0 ou indefinido, então a secante, a cossecante ou a cotangente pode ser indefinida.
Agora voltemos um pouco, vamos falar sobre arcos novamente, mas não quaisquer arcos, falemos sobre os
Arcos côngruos
São arcos que têm a mesma origem e o mesmo fim, em outras palavras, suas extremidades são iguais.
Exemplo
Considere um arco α a1 de A até B
outro arco a2 que se inicia em A, dá uma volta na circunferência, e termina em B
um 3º arco a3 que se inicia em A, dá duas voltas e termina em B
por fim um 4º arco a4 que também se inicia em A, dá 3 voltas e termina em B
note que a1, a2, a3 e a4 têm as mesmas extremidades, portanto eles são côngruos.
a1, a2, a3 e a4 formam uma família de arcos côngruos, sendo que a1 é conhecido como arco de 1ª volta ou 1ª determinação positiva.
Assim, nós podemos dizer que a1 é a determinação positiva de a2, a3 e a4 e quaisquer outros arcos côngruos de a1.
Nós podemos representar um arco a’ qualquer da família pela expressão a’ = α +k. 360
Onde α e a’ estão em graus e k é o número de voltas na circunferência.
Se α estiver em radianos a’ seria a’ = α +2kπ
E finalmente, ao apagar das luzes um dica inteligente, as questões gostam de relógios
Ponteiros de um relógio
Os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio sempre formam 2 ângulos, um grande
e um menor
Para calcular o menor ângulo a uma determinada hora basta utilizar a seguinte fórmula
