Teoria dos conjuntos

Um conjunto é simplesmente uma coleção de objetos/elementos, por exemplo

Os estados da região Sul do Brasil formam um conjunto => {Rio Grande do Sul, Santa Catarina, Paraná}
As estações do ano formam outro conjunto => {primavera, verão, outono e inverno}

E por aí vai.

Eles podem ser representados de 3 maneiras

Representação dos conjuntos

Citação dos elementos

Escreve-se alguns ou todos os elementos entre chaves, exemplo:

Estados da região Sul = {Rio Grande do Sul, Santa Catarina, Paraná}

Propriedades dos elementos

Representa-se o conjunto por uma propriedade que descreve os elementos.

Notação: S = {x / x satisfaz a condição p} (lê-se S é igual à x tal que x satisfaz a condição p).
A barra '/' significa 'tal que'.

Exemplos

S = {x / x é uma vogal} (S é igual à x tal que x é uma vogal), logo S = {a, e, i, o, u}

S = {x / x é um número inteiro par e 3 < x < 10} (S é igual à x tal que x é um número inteiro par maior que 3 e menor que 10), logo S = {4, 6, 8}

Diagrama de Venn

Escreve-se alguns ou todos os elementos dentro de uma linha fechada (na maioria das vezes um círculo), exemplos:

S = {a, e, i, o, u}

S = {4, 6, 8}

Além da representação é importante também informar se um elemento pertence ou não a um conjunto.

Pertinência

Para indicar que o elemento pertence ao conjunto utiliza-se o simbolo ∈, exemplo, considere S = {Rio Grande do Sul, Santa Catarina, Paraná}, nós poderíamos escrever Paraná ∈ S (Paraná pertence à S).

E para dizer que o elemento não pertence ao conjunto é usamos o ∉

Pernambuco ∉ S (Pernambuco não pertence à S)

Os elementos que compõem um conjunto, podem ser outros conjuntos (um conjunto pode ser formado por outros conjuntos), exemplo:

N = conjunto dos estados que formam a região Norte do Brasil
NE = conjunto dos estados que formam a região Nordeste do Brasil
CO = conjunto dos estados que formam a região Centro-oeste do Brasil
SE = conjunto dos estados que formam a região Sudeste do Brasil
S = conjunto dos estados que formam a região Sul do Brasil
B = conjunto das regiões do Brasil

B = {N, NE, CO, SE, S}

∈ e ∉ continuam sendo utilizados para indicar a relação de pertinência ou não, exemplo N ∈ B

Bem, existe uma infinidade de conjuntos cada um com suas particularidades e características, mas dentre todos eles alguns se destacam.

Conjuntos notáveis

Conjunto vazio

Não possui nenhum elemento. Representado por ∅.

Pode ser definido por uma propriedade contraditória, exemplos

S = { x / x < 0 e x > 0} = ∅
S = { x / x é uma vogal e consoante} = ∅

Conjunto unitário

Possui apenas um elemento.

Observações: 1) o elemento 'a' é diferente do conjunto {a} => a ≠ {a} 2) o conjunto {∅} é unitário, e apenas para reforçar ∅ ∈ {∅}.

Conjunto infinito

A quantidade de elementos que compõem o conjunto é infinita.

A quantidade de elementos que compõem o conjunto é chamada de cardinalidade. A cardinalidade de um conjunto S é representada por n(S).

Conjunto universo

Conjunto de todos os elementos considerados em um contexto, problema, situação etc. representado pela letra U, exemplo: de todos os estados brasileiros, Amazonas é o maior.

Conjunto universo: todos os estados brasileiros.

Ao representar um conjunto por meio da(s) propriedade(s) dos elementos, é importante estabelecer o conjunto ao qual os elementos pertencem, exemplo

A = {2, 3, 4, 5}
S = {x ∈ A / x é um número par}.

S é o conjunto dos números pares que pertencem a A, logo S = {2, 4}.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos são iguais se possuirem exatamente os mesmos elementos, exemplo

A = {2, 3, 4, 5}

B = {2, 3, 4, 5} ∴

A = B

Se A = {1, 2} e B = {1, 2, 2, 2}, A = B mesmo que B tenha elementos repetidos.

Se A = {2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}, então A ≠ B

Em notação matemática A = B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇔ x ∈ B)

Observações: 1) a ordem dos elementos é irrelevante

A = {2, 3, 4, 5}
B = {5, 3, 2, 4}, ainda assim, A = B

2) os conjuntos vazios são iguais ∅ = ∅

Subconjuntos

Um conjunto A é subconjunto de B se todos os elementos de A também forem elementos de B.

Nós podemos representar graficamente

podemos dizer também que B contém A, A ⊃ B.

Em notação matemática escrevemos

A ⊂ B (A é subconjunto de B ou A está contido em B) ou A ⊂ B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

lê-se para todo X, X pertence à A então X pertence à B

Exemplos:

A = {2, 4, 6}

B = {x / x é par} ∴

A ⊂ B

------------------------------

A = {Ásia, África}

B = {América, Europa, Ásia, África, Oceania e Antártida}, então

A ⊂ B

O conjunto vazio (∅) é subconjunto de qualquer outro conjunto, inclusive dele mesmo.

Seja A um conjunto qualquer, ∅ ⊂ A.

E um conjunto A qualquer é subconjunto dele mesmo. A ⊂ A

Se ao menos um dos elementos de A não estiver em B, então A não é subconjunto de B.

A ⊄ B (A não é subconjunto de B).

Podemos dizer também que B não contém A, A ⊅ B.

Conjunto das partes

O conjunto das partes de um conjunto S qualquer, é o conjunto formado por todos os subconjuntos de S e representado por P(S).

Em notação matemática P(S) = {x | x ⊂ S}

Exemplos

S = {1, 2}, logo o conjunto das partes de S é P(S) = {∅, {1}, {2}, {1, 2} }

S = ∅, o conjunto das partes de S é P(S) = {∅}

A cardinalidade (quantidade de elementos em um conjunto) de P(S) é n[P(S)] = 2^n(S)

Operações entre conjuntos

União

A união entre dois conjuntos A e B (A u B ou B u A), é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e/ou a B.

Em notação matemática A u B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}

Exemplos

A = {1, 2, 3}

B = {3, 4, 5}

A u B = {1, 2, 3, 4, 5}

------------------------------

A = {1, 2, 3}

B = {1, 2, 3, 4}

A u B = {1, 2, 3, 4}

Interseção

A interseção entre dois conjuntos A e B (A ∩ B ou B ∩ A), é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e à B.

Em notação matemática A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B}

Exemplos

A = {1, 2, 3}

B = {3, 4, 5}

A ∩ B = {3}

------------------------------

A = {1, 2}

B = {3, 4, 5}

A ∩ B = ∅ se A e B não tem nenhum elemento em comum, neste caso eles são considerados conjuntos disjuntos.

Diferença

A diferença entre dois conjuntos A e B (A -B), é o conjunto formado por todos os elementos de A que não estão em B.

Em notação matemática A -B = {x / x ∈ A e x ∉ B}

Exemplos

A = {1, 2, 3}

B = {3, 4, 5}

A -B = {1, 2}

------------------------------

A = {1, 2, 3}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

A -B = ∅

Normalmente A -B ≠ B -A

Complementar

Conjunto complementar de A em relação a B (sendo que A ⊂ B) é o conjunto de todos os elementos de B que não estão em A (B -A). Ou seja, são os elementos que faltam em A para que A = B.

O conjunto complementar de A em relação a B pode ser representado como C_B^A

Exemplos

A = {1, 2}

B = {1, 2, 3, 4}

C_B^A = {3, 4}

------------------------------

A = ∅

B = {1, 2, 3}

C_B^A = {1, 2, 3}

------------------------------

A = {1, 2, 3}

B = {1, 2, 3}

C_B^A = ∅

Conjuntos numéricos

Saõ conjuntos formados exclusivamente por números, os mais importantes são

Conjunto dos números inteiros (Z)

Conjunto de todos os números (positivos, negativos e 0) que não tem casas decimais.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Os subconjuntos mais importantes dos inteiros são:

Z*: conjunto dos inteiros não nulos (inteiros excluindo o 0).
Z₊: conjunto dos inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, ...}
Z_: conjunto dos inteiros não positivos= {..., -3, -2, -1, 0}

Conjunto dos naturais (N)

Conjunto dos inteiros excluindo os negativos.

N = {0, 1, 2, 3, ...}

N* é o conjunto dos números naturais não-nulos {1, 2, 3, ...}.

Todos os números naturais são inteiros, logo N ⊂ Z.

Conjunto dos racionais (Q)

Conjunto das frações, números decimais exatos e dízimas periódicas.

Frações são números representados pela divisão p/q tal que p ∈ Z e q ∈ Z*, exemplos, 10/2, -7/8, 9/-7, 14/105 …

Números decimais exatos são número com casas decimais não nulas finitas, exemplos, 0,4    0,75    1,6    44,7 …

Dízimas periódicas são número com casas decimais não nulas infinitas e que se repetem, exemplos, 0, 081081081…    0,857142857142…    3,33333…

Como os números decimais exatos e as dízimas periódicas podem ser escritas na forma de fração, o conjunto dos números racionais pode ser definido pela propriedade Q = {x / x = p/q, p ∈ Z e q ∈ Z*}

Alguns decimais na forma de fração: 0,75 = 3/4,    0,081081081… = 3/37,    44,7 = 447/10,    3,33333… = 20/6 ...

Não apenas os decimais podem ser escritos na forma de fração como os inteiros também podem, exemplos: 5 = 10/2,    2 = -2/-1,    -7 = -49/7,    -10 = 100/-10 …

Logo todos os números inteiros também são racionais, Z ⊂ Q.

Similarmente ao conjunto dos inteiros, há também o conjunto dos racionais não nulos (Q*), conjunto dos racionais não positivos (Q-), conjunto dos racionais não negativos (Q+) etc.

Conjunto dos irracionais (I)

Conjunto dos números com casas decimais infinitas não periódicas, exemplos: √2 = 1, 4142…, π = 3,14159…, e = 2,71828… Como estes números não podem ser escritos na forma de fração, I ⊄ Q

Conjunto dos reais (R)

Formado pela união do conjunto dos racionais com os irracionais. R = Q u I

Os números reais podem ser representados como pontos de uma reta

Sendo que cada número real está associado a um único ponto da reta e cada ponto da reta está associado a um único número real.

O trecho da reta compreendido entre dois pontos a e b quaisquer, é chamado de intervalo real e é um dos infinitos subconjuntos dos números reais.