Logaritmo é somente um número "x", expoente de um valor fixo "a" que resulta em um valor "b", vamos por partes.
1º logaritmo é um número.
É um número tal que "a" elevado a "x" (ax) é igual a "b" (ax = b).
Logaritmo é utilizado para responder à pergunta "Qual o expoente de “a” que resulta em “b” ?" (a qual número “a” deve ser elevado para obtermos “b” => ax = b).
Para calcularmos o log de um número utilizamos a função log
loga b = x (lê-se logaritmo ou log, de b na base a)
a: base, a ∊ R, a > 0 e a ≠ 1
b: logaritmando, b > 0
x: logaritmo
Se loga b = x quer dizer que ax = b
A base de um log pode ser omitida, neste caso considera-se a base igual à 10, ou seja, log b = log10 b
Logs notáveis
Colog
Colog é o oposto de um log, cologa b = -loga b
Logaritmo natural
Log cuja base é o número de Euler (e), loge b.
Podemos escrever também ln b.
Logaritmo neperiano
Log cuja base é 1/e, log1/e b.
"e" é o número de Euler.
Agora considere a, b e c números reais positivos, a ≠ 1 e n um número real qualquer.
Log de 1
Log do número 1 em uma base qualquer é 0 loga 1 = 0
a = b
Se a base for igual ao logaritmando então x = 1 loga a = 1
a = bn
Se a base for igual ao logaritmando e este estiver elevado à "n" então x = n loga bn = n
alogab
Se "a" estiver elevado ao log de b na base "a" então x = b aloga b = b
logab = logac
Se dois logs com mesma base são iguais então os logaritmandos também são iguais loga b = loga c ∴ b = c
Propriedades
Logaritmo do produto
loga (bc) = loga b +loga c (log de “b” multiplicado por “c” na base “a” é igual a soma dos logs de “b” e “c” na base “a”).
Podemos estender a propriedade para loga (b1.b2.b3...bn) = loga b1 +loga b2 +loga b3 + ... +loga bn
Logaritmo da divisão
loga (b/c) = loga b -loga c (log de “b” dividido por “c” na base “a” é igual ao log de “b” menos o log de “c”, ambos na
base “a”).
Logaritmo da potência
loga bn = n.loga b (log de “b” elevado a “n” é igual a “n” vezes log de “b”).
Mudança de base
Mudar a base de um log de "a" para "c" \(\bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_a\; b = {\Large{ {log_c\; b} \over {log_c\; a} } } }\) (log de “b” na base “a” é igual ao log de “b” na base “c” dividido pelo log de “a” na base “c”, esta fórmula pode ser utilizada para mudar a base de um log)
Expoente na base
\( log_{a^n}\;b = log_a\; {\large{ {b} \over {n} } } \) (log de “b” na base “a” elevada a “n” é igual ao log de “b” na base “a” dividido por “n”)
Com estas propriedades podemos resolver a maioria, se não todos, os problemas de log.
Função logarítmica
Uma função logarítmica é uma função do tipo f(x) = loga x.
O domínio das funções logarítmicas é o conjunto dos números reais positivos e o contradomínio são os números reais
Propriedades
1. conjunto imagem = contradomínio
2. o ponto (1, 0) é definido pela função, prova
f(1) = loga1
af(1) = 1
f(1) = 0
3. se a > 1 a função é crescente
4. se 0 < a < 1 a função é decrescente
5. injetora, para quaisquer x1 e x2 tal que x1 ≠ x2 no domínio da função f(x1) ≠ f(x2)
6. a função logarítmica f(x) = loga x é a inversa da exponencial g(x) = ax
Gráfico das funções logarítmica e exponencial
Se sendo f(x) e g(x) funções estritamente crescentes e logaf(x) = logag(x) conclui-se que f(x) = g(x).
