Os 2 primeiros elementos de A e B são iguais
Os 2 próximos elementos de A e B são iguais
Os 2 próximos elementos de A e B também são iguais
Contudo, estes dois elementos são diferentes
portanto A ≠ B
Algumas matrizes apresentam características especiais, e claro que é interessante que nós as conheçamos, são as
Matriz linha
Matriz que possui uma única linha.
Exemplo
A1x3 = (1 2 3)
Matriz coluna
Matriz que possui uma única coluna.
Exemplo
\( A_{3x1} =
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}
\)
Matriz nula
Todos os elementos são zero.
Exemplo
\( A_{3x3} =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\)
Matriz quadrada
O número de linhas é igual ao número de colunas. Se a quantidade de linhas e de colunas for n, diz-se que a ordem da matriz é n.
Exemplos: uma matriz 2x2 é de ordem 2, uma matriz 3x3 é de ordem 3 e assim por diante.
As matrizes quadradas tem duas diagonais: a principal e a secundária.
Definição formal de diagonal principal: todos os elementos que satisfazem a condição l = c
Definição formal de diagonal secundária: todos os elementos que satisfazem a condição l +c = n +1
Nas definições acima
l: linha na qual o elemento se encontra
c: coluna na qual o elemento se encontra
n: ordem da matriz
Exemplo
Nota: as definições formais de diagonal principal e diagonal secundária muitas vezes não são tão importantes, não são nem mesmo utilizadas.
Matriz diagonal
Matriz quadrada em que
todos os elementos que
não estão na diagonal principal são nulos.
Exemplo
Matriz identidade
Matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
Uma matriz identidade de ordem n pode ser indicada por In.
Exemplo
\( I_3 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, ou seja, A.In = In.A = A
Matriz transposta
A matriz transposta de uma matriz A
lxc, é a matriz A
t com c linhas e l colunas, isso mesmo, c linhas e l colunas, cuja coluna x é igual a linha x de A.
Em outras palavras: a 1ª coluna da transposta é igual à 1ª linha de A, a 2ª coluna da transposta é igual à 2ª linha de A e assim por diante.
O elemento a
lc na matriz A, será o elemento a
cl na transposta.
Exemplo
Matriz inversa
A matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, é a matriz A
-1 , também quadrada de ordem n, tal que A
-1.A ou A.A
-1 = I
n
Exemplo
Considere a matriz
\( A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\)
a sua inversa é
\(
\begin{pmatrix}
-24 & 18 & 5 \\
20 & -15 & 4 \\
-5 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\)
pois
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & 2 & 3
\end{pmatrix}
x
\begin{pmatrix}
-24 & 18 & 5 \\
20 & -15 & 4 \\
-5 & 4 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
} \)
Observação: nem todas as matrizes quadradas possuem uma inversa
Matriz oposta ou simétrica
A matriz oposta de uma matriz A, é a matriz A multiplicada por -1.
Exemplo:
Considere a matriz
\( A =
\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
-3 & 4
\end{pmatrix}
\)
sua oposta é
\(
\begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
3 & -4
\end{pmatrix}
\)
Matriz nilpotente
São matrizes quadradas que elevadas à um k específico, tal que k ∊ N*, resultam na matriz nula, ou seja Ak = 0n.
E se k for o menor valor que satisfaz a condição acima, diz-se que A é nilpotente de índice k.
Exemplo, \( A =
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\), é uma matriz nilpotente de índice 2, pois A2 = 02.
\( B =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\), é uma matriz nilpotente de índice 3, pois B3 = 03
Matriz idempotente
São matrizes quadradas que elevadas a 2ª resultam ela mesma.
Hã ?! 😳
Nada mais simples A2 = A
Exemplo, \( A =
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\), é uma matriz idempotente pois A2 = A.
\( B =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\) também é uma matriz idempotente pois B2 = B.
Número obtido de uma matriz quadrada.
O determinante de uma matriz A é indicado pela notação “det A” ou escrevendo os elementos de A entre barras
\( det\;A =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1c} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2c} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{l1} & a_{l2} & a_{l3} & \cdots & a_{lc} \\
\end{vmatrix}
\)
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 1
Se a matriz tiver um único elemento, o determinante será o próprio elemento.
Exemplo: o determinante da matriz A = (1) é det A = 1
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2
Se a matriz for 2 por 2, o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal +oposto do produto dos elementos da diagonal secundária.
Considere uma matriz qualquer
\( A =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\)
Produto dos elementos da diagonal principal
Produto dos elementos da diagonal secundária multiplicado por -1
Então somamos os dois
det A = ad -cb
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3
Se a matriz for 3 por 3 nós utilizamos a regra de Sarrus, funciona assim
Considere a matriz A
1º nós copiamos as 2 primeiras colunas ao lado direito da matriz
2º multiplicar os elementos na diagonal D1, D2 e D3
3º multiplicar os elementos na diagonal D4 e multiplicar o resultado por -1, multiplicar os elementos na diagonal D5 e multiplicar o resultado por -1 e fazer o mesmo na diagonal D6
e finalmente somamos tudo
det A = aei +bfg +cdh -gec -hfa -idb
Para matrizes de ordem 4 ou superior utiliza-se o Teorema de Laplace, contudo, saber calcular o determinante de matrizes até ordem 3 já deve ser o suficiente, então vou parar por aqui.
